@article { author = {Ordolalo, Z. and Golpar Raboky, E. and Mahdavi-Amiri, N.}, title = {Tensor Rank and the Best Low-rank Approximation Problem}, journal = {Mathematical Culture and Thought}, volume = {40}, number = {2}, pages = {61-78}, year = {2022}, publisher = {Iranian Mathematical Society}, issn = {1022-6443}, eissn = {2821-1359}, doi = {10.30504/mct.2022.323}, abstract = {The rank of a matrix is indeed an important characteristic, and it can be calculated using methods such as Gaussian elimination or stepwise decomposition. The rank of a tensor  A, on the other hand, is more complex to calculate and is considered an NP-hard problem except in special cases. Various methods have been proposed for computing the rank of 2x2x2 tensors, including the calculation of hyperdeterminant, checking the internal structure of the tensor, and classifying the tensor into canonical forms. The Eckart-Young theorem provides a method for calculating the best low-rank approximation for matrices. However, many tensors may not have a specified low-rank approximation, which is a degenerate problem. These tensors can be approximated by a sequence of low-rank tensors.}, keywords = {numerical multilinear algebra,tensor,tensor rank,tensor decomposition,low-rank approximation}, title_fa = {رتبه تانسور و مسئله بهترین تقریب رتبه پایین}, abstract_fa = {رتبه یکی از مشخصه‌های مهم  هر ماتریس است. رتبه ماتریس A عبارت است از کوچک‌ترین عدد صحیح r به‌طوری‌که A را بتوان با استفاده از مجموع r ماتریس رتبه‌یک نوشت. رتبهٔ ماتریس را می‌توان با استفاده از روش حذف گاوسی یا تجزیهٔ پلکانی به‌دست آورد. رتبهٔ تانسور ‎A  عبارت است از کوچک‌ترین عدد صحیح ‎ r به‌طوری‌که ‎ A  به‌وسیلهٔ مجموع  ‎  r  تانسور رتبه‌یک ایجاد شود. برخلاف رتبه ماتریس،  رتبه تانسور  به‌راحتی قابل محاسبه نیست، چنان‌که به‌جز در مواردی خاص، مسئله‌ای NP‌-‌سخت است.  تاکنون مطالعات گسترده‌ای در زمینه محاسبه رتبه تانسورهای 2×2×‌2 انجام گرفته است و چندین روش شامل محاسبه ابردترمینان، بررسی ساختار درونی تانسور و نیز طبقه‌بندی تانسور به صورت‌های کانونی  ارائه شده‌اند. یک مسئله اساسی در کار با ماتریس و تانسورها،  محاسبه بهترین تقریب رتبه پایین است. طبق قضیه اکارت-یانگ، بهترین تقریب رتبه k در ماتریس‌ها با مجموع k عامل از تجزیه مقدار تکین قابل محاسبه است. به‌علاوه، برای یک ماتریس، محاسبه بهترین تقریب رتبه  k+1 با استفاده از بهترین تقریب رتبه k، امکان‌پذیراست. اما برخلاف ماتریس‌ها،  ممکن است بسیاری از تانسورها   تقریب رتبه پایین مشخص‌شده‌ای نداشته باشند.   این مسئله‌ای  تبهگن  است   و این تانسورها  را  می‌توان  با دنباله‌ای از تانسورهای رتبه پایین، به‌قدر کافی نزدیک، تقریب زد.}, keywords_fa = {جبر چندخطی عددی- تانسور,رتبه تانسور,تقریب رتبه پایین,تجزیه تانسور}, url = {http://mct.iranjournals.ir/article_323.html}, eprint = {http://mct.iranjournals.ir/article_323_1c0a2b7f5408eb13f0bb09a939be90dd.pdf} }