ریشه ها، مبانی و سیر تکاملی نظریۀ استورم-لیوویل

نوع مقاله : مقاله مروری

نویسنده

دانشگاه کاشان، دانشکده علوم ریاضی

چکیده

اولین مقالۀ مشترک استورم و لیوویل در سال ١٨٣٧ ، مقدمه ای بر نظریۀ عام معادلات دیفرانسیل استورم-لیوویل به شمار می آید. نظریه ای که نقشی محوری در بخش عمده ای از آنالیز ریاضی نوین بازی کرده و در طول سال های متوالی در تجزیه و تحلیل بسیاری از مسائل مربوط به ریاضیاتِ فیزیک و دیگر شاخه های علم به کار گرفته شده است. در این نوشتار، تاریخچه ای از نظریۀ استورم-لیوویل و سرچشمه های پیدایش آن را بیان می کنیم و به اهمیت و جایگاه آن در مطالعۀ مسائل مقدار مرزی و برخی تلاش هایی که در جهت تعمیم آن انجام گرفته است، می پردازیم. نظریۀ طیفی عملگرهای استورم-لیوویل غیرخطی را نیز شرح می دهیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


دهخدا، ع.،  ‎‎ لغت‌نامۀ دهخدا، جلد ‎4‎، ص. ‎2205‎، انتشارات دانشگاه تهران، ‎1328‎.
 
2‎
‎Agarwal R.‎, ‎Grace S.‎, ‎O'Regan D.‎, Oscillation Theory for Difference and Functional Differential Equations‎, ‎Kluwer‎, ‎Dordrecht‎, ‎2000‎.
 
3‎
‎Agarwal R.‎, ‎Grace S.‎, ‎O'Regan D.‎, Oscillation Theory for Second-Order Dynamic Equations‎, ‎Taylor and Francis‎, ‎London‎, ‎2003‎.
 
4‎
‎Ahlbrandt C.‎, ‎Peterson A.‎, Discrete Hamiltionian Systems‎, ‎Kluwer Academic‎, ‎Dordrecht‎, ‎1996‎.
 
5‎
‎Al-Gwaiz M‎. ‎A.‎, Sturm-Liouville Theory and its Applications‎, ‎Springer-Verlag‎, ‎London‎, ‎2008‎.
 
6‎
‎Amrein W‎. ‎O.‎, ‎Hinz A‎. ‎M.‎, ‎Pearson D‎. ‎B.‎, Sturm-Liouville Theory‎, ‎Past and Present‎, ‎Birkhäuser‎, ‎Berlin‎, ‎2005‎.
 
7‎
‎Antman S‎. ‎S.‎,  ‎Bifurcation problems for nonlinearly elastic structures‎, ‎in   Applications of Bifurcation Theory‎, ‎Academic Press‎, ‎New York‎, ‎1977‎.
 
8‎
‎Bensidhoum F‎. ‎Z.‎,  ‎Dib H.‎, ‎On some regular fractional Sturm-Liouville problems with generalized Dirichlet conditions‎, International Conference on Fractional Differentiation and its Applications‎, ‎June 23-25‎, ‎Catania‎, ‎Italy‎, ‎2014‎.
 
9‎
‎Benzinger H‎. ‎E.‎, ‎Pointwise and norm convergence of a class of biorthogonal expansions‎, Trans‎. ‎Amer‎. ‎Math‎. ‎Soc.‎, 231 (1977)‎, ‎259-271‎.
 
10‎ 
‎Bernoulli J.‎, ‎Meditationes de chordis vibrantibus‎, Comm‎. ‎Aead‎. ‎Sci‎. ‎Petrop.‎, 3 (1728)‎, ‎13-28‎.
 
11‎
‎Bernoulli D.‎, ‎Theoremata de oscillationibus corporum filo flexili connexorum et catenae verticaliter suspensae‎,
Comm‎. ‎Acad‎. ‎Sci‎. ‎Petrop.‎, 6 (1732-33)‎, ‎108-122‎.
 
12‎
‎Blaszczyk T.‎,   ‎Ciesielski M.‎, ‎Numerical solution of fractional Sturm-Liouville equation in integer form‎,
Frac‎. ‎Calculus and Appl‎. ‎Anal.‎, 17 (2014)‎, ‎307-320‎.
 
13‎
‎Bôcher M.‎, ‎The theorems of oscillation of Sturm and Klein‎, Bull‎. ‎Amer‎. ‎Math‎. ‎Soc.‎, 4 (1897-1898)‎, ‎295-313‎.
 
14‎
‎Bôcher M.‎, Leçons sur les Méthodes de Sturm dans la Théorie des Equations Différentielles Linéaires‎, ‎et leurs Développements Modernes‎, ‎Gauthier-Villars‎, ‎Paris‎, ‎1917‎.
 
15‎
‎Borg G.‎, ‎On the completeness of some sets of functions‎, Acta‎. ‎Math.‎, 81  (1949)‎, ‎265-283‎.
 
16‎
 ‎Brunovský P.‎, ‎Poláčik P.‎,   ‎Sandstede B.‎, ‎Convergence in general periodic parabolic equations in one space dimension‎, Nonlinear Anal‎. ‎TMA‎, 18 (1992)‎, ‎209–215‎.
 
17‎
‎Castro H.‎, ‎Bifurcation analysis of a singular non-linear Sturm-Liouville equation‎, Commun‎. ‎Contemp‎. ‎Math.‎, 16  (2014)‎, ‎14500121-145001254‎ 
 
18‎
‎Caudill L‎. ‎F.‎,  ‎Perry P‎. ‎A.‎,  ‎Schueller A.W.‎, ‎Isospectral sets for fourth-order ordinary differential operators‎,
SIAM J‎. ‎Math‎. ‎Anal.‎, 29 (1998)‎, ‎935-966‎.
 
19‎
‎Colladon D.‎,  ‎Sturm C.‎, ‎Mémoire sur la compression des liquides‎, Mém‎. ‎Savants Etrang‎. ‎l’Acad‎. ‎Royale Sci.‎, 5 (1834)‎,  ‎267-347‎.
 
20‎
‎Darzi R.‎,  ‎Mohammadzadeh B.‎, ‎Fractional Sturm-Liouville problems with $\alpha$-ordinary and $\alpha$-singular points‎, J‎. ‎Fractional Calculus and Appl.‎, 5 (2014)‎, ‎202-208‎.
 
21‎
 ‎Epstein C‎. ‎L.‎,  ‎Weinstein M‎. ‎I.‎, ‎A stable manifold theorem for the curve shortening equations‎, Comm‎. ‎Pure Appl‎. ‎Math.‎, 40 (1987)‎, ‎119–139‎.
 
22‎
‎Erbe L.‎, ‎Kong Q.‎, ‎Zhang B.‎, Oscillation Theory for Functional Differential Equations‎, ‎Monographs in Pure and Applied Mathematics‎, ‎Marcel Dekker‎, ‎New York‎, ‎1995‎.
 
23‎
 ‎Everitt W‎. ‎N.‎, ‎The Sturm-Liouville problem for fourth-order ordinary differential equations‎, Quart‎. ‎J‎. ‎Math.‎,
8 (1957)‎, ‎146-160‎.
 
24‎
 ‎Feireisl E.‎,  ‎Poláčik P.‎, ‎Structure of periodic solutions and asymptotic behavior for time-periodic reaction-diffusion equations on R‎, Adv‎. ‎Differ‎. ‎Equat.‎, 5 (2000)‎, ‎583–622‎.
 
25‎
‎Fourier J.‎, Théorie Analytique de la Chaleur‎, ‎F‎. ‎Didot‎, ‎Paris‎, ‎1822‎.
 
26‎
 ‎Gage M.‎,  ‎Hamilton R‎. ‎S.‎, ‎The heat equation shrinking convex plane curves‎, J‎. ‎Differ‎. ‎Geom.‎, 23 (1986)‎, ‎69–96‎.
 
27‎
 ‎Grayson M‎. ‎A.‎, ‎Shortening embedded curves‎, Ann‎. ‎Math.‎, 129 (1989)‎, ‎71–111‎.
 
28‎
‎Györi I.‎, ‎Ladas G.‎, Oscillation Theory of Delay Differential Equations with Applications‎, ‎Oxford Press‎, ‎New York‎, ‎1991‎.
 
29‎
 ‎Liouville J.‎, ‎Mémoire sur le calcul aux différences partielles‎, ‎Unpublished manuscripts presented to the Academie des Sciences on Dec‎. ‎1.‎, ‎1828‎.
 
30‎
------, ‎Recherches sur la théorie physico-mathématique de la chaleur‎, Ann‎. ‎Math.‎, 21 (1830-31)‎, ‎133-181‎.
 
31‎
------, ‎Démonstration d'un théorème du à M‎. ‎Sturm relatif à une classe de fonctions transcendantes‎, Journ‎. ‎Math‎. ‎Pures Appl.‎, 1 (1836)‎, ‎269-277‎.
 
32‎
------, ‎Mémoire sur l'intégration de l'équation $\dfrac{du}{dt}=\dfrac{d^{‎\text{‎3}}u}{dx^{\text{3}}} $‎, Journ‎. ‎Ec‎. ‎Polytechn‎. ‎Paris}‎, 15 (1837)‎, ‎85-117‎.
 
33‎ ------, ‎Premier mémoire sur la théorie des équations différentielles linéaires‎, ‎et sur le développement des fonctions en séries‎, Journ‎. ‎Math‎. ‎Pures Appl.‎, 3 (1838)‎, ‎561-614‎.
 
34‎
------, ‎Mémoire sur une question d'analyse aux différences partielles‎, Mém‎. ‎Savans Etrang‎. ‎Acad‎. ‎Sci‎. ‎Paris‎, 5 (1838)‎, ‎559-606‎.
 
35‎
------, ‎Sur les conditions de convergence d'une classe générale de séries‎, Journ‎. ‎Math‎. ‎Pures Appl.‎, 5 (1840)‎, ‎356-359‎.
 
36‎ 
‎Lützen J.‎, ‎Sturm and Liouville's work on ordinary linear differential equations‎. ‎The emergence of Sturm-Liouville theory‎, Arch‎. ‎Hist‎. ‎Exact Sci.‎, 29 (1984)‎, ‎309-376‎.
 
37‎
‎Lützen J.‎, Joseph Liouville 1809–1882‎: ‎Master of Pure and Applied Mathematics‎, ‎Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences‎, ‎Springer-Verlag‎, ‎New York‎, ‎1990‎.
 
38‎
 ‎Podlubny I.‎, Fractional Differential Equations‎, ‎Academic Press‎, ‎San Diego‎,  ‎1999‎.
 
39‎
 ‎Poláčik P.‎, ‎Transversal and nontransversal intersections of stable and unstable manifolds in reaction diffusion equations on symmetric domains‎, Differ‎. ‎Integr‎. ‎Equat.‎, 7 (1994)‎, ‎1527–1545‎.
 
40‎
‎Pont J‎. ‎C.‎, ‎Padovani F.‎, Complete Works of Charles-François Sturm‎, ‎Birkhäuser‎, ‎Basel‎, ‎2008‎.
 
41‎
 ‎Rabinowitz P‎. ‎H.‎, ‎Nonlinear Sturm-Liouville problems for second order ordinary differential equations‎,
Comm‎. ‎Pure‎. ‎Appl‎. ‎Math.‎, 23 (1970)‎, ‎939-961‎.
 
42‎
 ‎Shibata T.‎, ‎Inverse spectral problems for nonlinear Sturm-Liouville problems‎, Electronic J‎. ‎Diff‎. ‎Eq.‎, 2007 (2007)‎, ‎1-10‎.
 
43‎
‎Shibata T.‎, ‎Direct and inverse bifurcation problems for nonlinear Sturm-Liouville problems‎, Research Institute for Math‎. ‎Sci.‎,  ‎17-28‎, ‎2011‎.
 
44‎
 ‎Sturm C.‎, ‎Analyse d'un Mémoire sur la résolution des équations numériques‎, Bull‎. ‎Sci‎. ‎Math‎. ‎Astr‎. ‎Phys.‎, 11 (1829)‎, ‎419-422‎.
 
45‎
------, ‎Extrait d'un mémoire sur l'intégration d'un système d'équations différentielles linéaires‎, Bull‎. ‎Sci‎. ‎Math‎. ‎Astr‎. ‎Phys.‎, 12 (1829)‎, ‎315-322‎.
 
46‎
------, ‎Analyse d'un mémoire sur les propriétés générales des fonctions qui dépendent d'équations différentielles linéaires du second ordre‎, L'institut Journ‎. ‎Acad‎. ‎et Soc‎. ‎Sci.‎, 9 (1833)‎, ‎219-223‎.
 
47‎
 ------, ‎Mémoire sur la résolution des équations numériques‎, Mém‎. ‎Savants Etrangers‎, ‎Acad‎. ‎Sci‎. ‎Paris‎, 6 (1835)‎, ‎271-318‎.
 
48‎
------, ‎Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre‎, Journ‎. ‎Math‎. ‎Pures Appl.‎, 1 (1836)‎, ‎106-186‎.
 
49‎
------, ‎Memoire sur une classe d'équations à differences partielles‎, Journ‎. ‎Math‎. ‎Pures Appl.‎, 1  (1836)‎, ‎373-444‎.
 
50‎
 ‎Sturm C.‎,  ‎Liouville J.‎, ‎Démonstration d'un théorème de M‎. ‎Cauchy relatif aux racines imaginaires des équations‎, Journ‎. ‎Math‎. ‎Pures Appl.‎, 1 (1836)‎, ‎278-289‎.
 
51‎
------, ‎Note sur un théorème de M‎. ‎Cauchy relatif aux racines des equations simultanées‎, Comp‎. ‎Rend.‎, 4 (1837)‎, ‎720-739‎.
 
52‎
------, ‎Extrait d'un mémoire sur le développement des fonctions en séries dont les différents termes sont assujettis à satisfaire à une meme équation différentielle linéaire‎, ‎contenant un parametre variable‎, Journ‎. ‎Math‎. ‎Pures Appl.‎, 2 (1837)‎, ‎220-233‎.
 
53‎
 ‎Sun Y.‎,  ‎Liu L.‎,  ‎Cho Y‎. ‎J.‎, ‎Positive solutions of singular nonlinear Sturm-Liouville boundary value problems‎,
ANZIAM J.‎, 45 (2004)‎, ‎557-571‎.
 
54‎
 ‎Taylor B.‎, ‎De motu nervi tensi‎, Phil‎. ‎Trans.‎, 28  (1713)‎, ‎26-32‎.
 
55‎
 ‎Wolkowisky J‎. ‎H.‎, ‎A nonlinear Sturm-Liouville problem‎, Bull‎. ‎Amer‎. ‎Math‎. ‎Soc.‎, 73 (1967)‎, ‎634-636‎.