Mathematical  Culture and Thought

Mathematical Culture and Thought

Set-theoretic Foundations of Mathematics and Its Challenges

Document Type : Survey

Author
Faculty of Mathematical Sciences‎, ‎Shahid Beheshti University‎, ‎Iran
Abstract
In this article, we discuss in what sense set theory is considered as the foundations of mathematics. We will also discuss the challenges of this view. In this regard, we compare the first-order set theory with the second-order logic and also with the second-order set theory. Finally, we examine the question whether mathematics needs a foundation at all.
Keywords
Subjects

‎ [۱] پاتنم، ه.، ریاضیات بدون مبانی، در هیلری پاتنم: منتخب مقالههای فلسفی، تدوین کاوه لاجوردی، نشر نو، تهران، ۱۴۰۱.
[۲] متایاس، ای. آر. دی.، تجاهل بورباکی، ترجمۀ محسن خانی، فرهنگ و اندیشه ریاضی، ۴۱ (۱۴۰۱)، شماره ۲، ۱۵۰-۱۲۹.
[۳] منیری، مرتضی، اصل موضوع و تعریف در ریاضیات، فرهنگ و اندیشه ریاضی، ۴۴ (۱۴۰۴)، شماره ۱، ۱۱۱-۱۲۶.
[۴] منیری، مرتضی، چرا فلسفههای سهگانۀ مشهور ریاضی مهم هستند؟، فرهنگ و اندیشه ریاضی، ۳۷ (۱۳۹۷)، شماره ۱، ۱-۱۳ .
[۵] منیری، مرتضی، ساختارگرایی در فلسفۀ ریاضیمعاصر، فرهنگ و اندیشه ریاضی، ۳۷ (۱۳۹۷) شماره ۲، ۳۷-۵۰.
 
[6]    Awodey, S., Structure in mathematics and logic: A categorical perspective, Philos. Math., 4 (3) (1996), 209-237.
[7]    Benacerraf, P. & Putnam, H., eds., Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge University Press, Cambridge, 1983.
[8]    Bentzen, B., What types should not be, Philos. Math., 1 (28) (2020), 60-76.
[9]    Button, T., Walsh, S. P., Philosophy and Model Theory, Oxford University Press, Oxford, 2018.
[10]    Hacking, I., Why Is There Philosophy of Mathematics At All?, Cambridge University Press, Cambridge, 2014.
[11]    Hamkins, J. D., Lectures on the Philosophy of Mathematics, MIT Press, Massachusetts, 2021.
[12]    Honzik, R., Large cardinals and the continuum hypothesis, in The Hyperuniverse Project and Max-imality, C. Antos, S. D. Friedman, R. Honzik,C. Ternullo, eds., Birkhäuser, Cham, 2018.
[13]    Jech, T., Set Theory, The Third Millennium Edition, Springer-Verlag, New York, 2003.
[14]    Kunen, K., Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, Amsterdam, 1980.
[15]    Kunen, K., The Foundations of Mathematics, Studies in Logic, Mathematical Logic and Foundations, College Publications, Suwanee, 2009.
[16]    Ladyman, J., Presnell, S., Does homotopy type theory provide a foundation for mathematics?, British J. Philos. Sci., 69 (2) (2018).
[17]    Lévy, A., Solovay, R. M., Measurable cardinals and the continuum hypothesis, Israel J. Math, 5 (1967), 234-248.
[18]    Maddy, P., Defending the Axioms: On the Philosophical Foundations of Set Theory, Oxford University Press, Oxford , 2011.
[19]    Maddy, P., Set-theoretic foundations, in Foundations of Mathematics, A. E. Caicedo, J. Cummings, P. Koellner, Paul B. Larson, eds., American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2016.
[20]    Väänänen, J., Second order logic or set theory?, Bull. Symbolic Logic, 18 (1) (2012), 91-121.
[21]    Väänänen, J., Second-order and higher-order logic, in The Stanford Encyclopedia of Philosophy, E. N. Zalta, ed., 2021.

  • Receive Date 04 April 2024
  • Revise Date 25 June 2024
  • Accept Date 06 July 2024
  • Publish Date 22 May 2026