پس از آن که کانتور نظریه مجموعه ها را معرفی کرد، روش های جدید و غیرمتعارفی در ریاضیات به وجود آمد که واکنش هایی را نسبت به آن برانگیخت. امروزه تقریبا در تمام کتب ریاضی، این روشها به صورت فراگیر مشاهده می شوند و در واقع مشکل بتوان توضیح داد که چرا این مطالب روزی جنجال برانگیز بوده است. هیلبرت از روش های نظریه مجموعه ها به شدت طرفداری می کرد ولی بروز پارادوکس هایی مانند پارادوکس راسل، موجب تشویش درباره درستی و سازگاری آنها شد. هیلبرت برای حل این مشکل برنامه ای طرح ریزی کرد که به برنامه هیلبرت مشهور است. برنامه هیلبرت و پیامدهای آن یعنی ارائه سیستم های اصل موضوعی، قضایای ناتمامیت گودل و سیستم های استنتاج طبیعی و حساب رشته ها، باعث ایجاد شاخه ای به نام نظریه اثبات در منطق ریاضی شد.
)