انجمن ریاضی ایران فرهنگ و اندیشه ریاضی 1022-6443 41 2 2023 01 21 Is Arithmetic Determinate? آیا حساب متعیّن است؟ 97 105 349 10.30504/mct.2022.1286.1895 FA مرتضی منیری دانشگاه شهید بهشتی، دانشکده علوم ریاضی Journal Article 2022 05 21 Is arithmetic determinate and definitive? In other words, are there reasons<br />for the correctness or falsity of each arithmetic sentence? For example, is there evidence<br />that Goldbach’s conjecture is true or false, even if we don’t know about it? At<br />first glance, the answer seems to be clearly yes. But how can you be sure? What does<br />Gödel’s incompleteness theorem say about this? What is the relationship between independence<br />of some axioms of set theory, such as the axiom of choice and the continuum<br />hypothesis, with these questions? In this article, we will examine these questions. In<br />addition, we will examine the impact of the presence of unconventional facilities such<br />as computing machines that are able to perform an infinite number of instructions in a<br />finite time, as well as proof systems equipped with infinite rules on the answers to the<br />above questions. آیا حساب متعیّن و قطعی است؟ به‌عبارت‌دیگر، آیا به ازای هر حکمی در حسابِ اعداد طبیعی، دلیلی برای درستی یا نادرستی آن حکم وجود دارد؟ برای مثال، آیا شواهدی برای درستی یا نادرستی حدس گولدباخ وجود دارد ‌حتی اگر ما از آن‌ها آگاه نباشیم؟ در وهلهٔ اول به نظر می‌رسد که پاسخ به‌وضوح مثبت است‎‏‏، اما از کجا مطمئن باشیم؟ قضیهٔ ناتمامیت گودل در این مورد چه می‌گوید؟ مستقل بودن برخی احکام نظریهٔ مجموعه‌ها مانند اصل انتخاب و فرضیهٔ پیوستار ‌ چه ارتباطی با این موضوع دارد؟ در این مقاله به بررسی این پرسش‌ها می‌پردازیم. علاوه‌بر‌این، تأثیر وجود امکانات نامتعارفی از قبیل ماشین‌های محاسبی که قادر به انجام تعدادی نامتناهی دستورالعمل در زمانی متناهی‌اند و همچنین دستگاه‌های اثباتی مجهز به قواعد نامتناهی را بر پاسخ این پرسش‌ها بررسی خواهیم‌ کرد. http://mct.iranjournals.ir/article_349_0bb4aec1710521c12ee76289d9440817.pdf