انجمن ریاضی ایران فرهنگ و اندیشه ریاضی 1022-6443 مقالات آماده انتشار 2025 08 04 Getting to know the involute curve and its applications in engineering. The first part: flat involute curve آشنایی با منحنی گستران و کاربردهای آن در مهندسی؛ قسمت اول: منحنی گستران مسطح 455 10.30504/mct.2025.1553.2090 FA حسین تیموری فعال گروه رایانه، دانشکده آمار، ریاضی و رایانه، دانشگاه علامه طباطبائی رضا تیموری فعال گروه مکانیک ، دانشکده مهندسی، دانشگاه زنجان مجتبی آیت الهی گروه مکانیک، دانشکده مهندسی، دانشگاه زنجان Journal Article 2025 04 18 In this article, we first present the basic definitions of the Involute and flat evolute curves, along with their history. Then, we briefly introduce the properties related to these curves and their applications, and we present the basic formulas for calculating the parametric equations of the involute of any arbitrary curve. In the following, the involute curves are presented for several examples, including a circle, a semi-cubic parabola, a catenary curve, and a cyclic curve. در این مقاله، ابتدا تعاریف اولیه برای منحنی های گستران و گسترنده مسطح، به همراه تاریخچه آنها را بیان می کنیم. سپس ویژگیهای های مرتبط با این منحنی ها و کاربردهای آنها به‌اختصار معرفی و فرمول‌های اساسی جهت محاسبه معادلات پارامتری گستران هر منحنی دلخواه ‏را بیان می‌کنیم. در ادامه منحنی های گستران برای چندین مثال شامل دایره، سهمی نیمه‌مکعبی، منحنی زنجیروار و منحنی چرخ‌زاد ارائه می شوند. به‌عنوان کاربردهایی از مفاهیم گستران و گسترنده در مهندسی مکانیک، به چرخ دنده‌ها و کمپرسورهای مارپیچ و اسکرول و پاهای رباتهای بالا رونده از پله، اشاره می‌شود. همین طور تعمیمی از منحنی گستران که تانولوت نامیده می شود، بیان می گردد. در ‌پایان نیز آونگ چرخ‌زاد‌ی به عنوان کاربردی از گستران منحنی چرخ‌زاد معرفی و مستقل بودن دوره تناوب آن از دامنه نوسان نشان داده می شود.