Mathematical  Culture and Thought

Mathematical Culture and Thought

Two Topological Equivalents of the Axiom of Choice

Document Type : Original

Author
Department of Mathematics, University of Sistan and Baluchestan, Zahedan, ‎Iran
Abstract
In this article, after presenting a brief review of the axiom of choice, its applications and challenges, we prove two new topological equivalents of this important axiom. Understanding these equivalents only requires familiarity with the axiom of choice, some preliminaries of naive set theory, and the basics of general topology. For this reason, these equivalents can serve as an accessible sample for undergraduate students of mathematics to begin research activities.
Keywords

Subjects


[1] امیری، حبیب، پارادوکس باناخ‑تارسکی و اثبات‌های آن، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی،  ۴۳ (۱۴۰۳)، شمارۀ ۱ ،  ۲۳۹–۲۵۸.
[2] گرینبرگ، ماروین جی.، هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی و بسط آن، ترجمۀ محمدهادی شفیعی‌ها، مرکز نشر دانشگاهی، تهران، ۱۳۸۹.
[3] لین، شووینگ تی.؛ لین، یو‑فنگ، نظریۀ مجموعه‌ها و کاربردهای آن، ترجمۀ عمید رسولیان، مرکز نشر دانشگاهی، تهران، ۱۳۶۸.
[4] مانکرز، جیمز آر.، توپولوژی، نخستین درس، ترجمۀ یحیی تابش، ابراهیم صالحی، جواد لالی، و نادر وکیلی، مرکز نشر دانشگاهی، تهران، ۱۳۶۶.
[5] Banach, S., Tarski, A., Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, Fund. Math., 6 (1924), 244-277.
[6] Bernays, P., Axiomatic Set Theory, North-Holland Publishing, Amsterdam, 1968.
[7] Folland, G. B., Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, Inc, New York, 1999.
[8] Hosseini Giv, H., The axiom of choice, well-ordering, and well-classification, Amer. Math. Monthly, 122 (2015), 56-59.
[9] Howard, P., Rubin, J. E., Consequences of the Axiom of Choice, Amer. Math. Soc., Rhode Island, 1998.
[10] Jech, T. J., The Axiom of Choice, North-Holland Publishing, Amsterdam, 1973.
[11] Jech, T. J., Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded, Springer-Verlag, Berlin, 2003.
[12] McCartan, S. D., Topological equivalents of the axiom of choice, Bull. Irish Math. Soc., 21 (1988), 45-48.
[13] Rubin, H., Rubin, J. E., Equivalents of the Axiom of Choice, North-Holland Publishing, Amsterdam, 1970.
[14] Schechter, E., Two topological equivalents of the axiom of choice, Math. Logic Quarterly, 38 (1992), 555-557.
[15] Suppes, P., Axiomatic Set Theory, D. Van Nostrand Company, Princeton, NJ, 1960.
[16] Wagon, S., The Banach–Tarski Paradox, Cambridge University Press, 1985.
[17] Zermelo, E., Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Annalen, 59 (1904), 514-516.
 

  • Receive Date 22 February 2025
  • Revise Date 16 March 2025
  • Accept Date 16 March 2025
  • Publish Date 23 September 2025