فرهنگ و اندیشه ریاضی

فرهنگ و اندیشه ریاضی

پیدایش مجموعه های باز، مجموعه های بسته و نقاط حدی در آنالیز ریاضی و توپولوژی

نوع مقاله : ترجمه

نویسندگان
1 دانشگاه کاشان، دانشکده علوم ریاضی
2 دانشگاه زنجان، دانشکده علوم، گروه ریاضی
چکیده
توپولوژی عمومی ریشه در آنالیز حقیقی و مختلط دارد، یعنی جایی که در آن از مفاهیم درهم تنیدۀ مجموعۀ باز، مجموعۀ بسته و نقطۀ حدی استفاده‌هایی مهم شده است. در این مقاله، به بررسی چگونگی پیدایش و تکامل این سه مفهوم در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم می‌پردازیم که به ویژه به یمن پژوهش های وایرشتراس، کانتور و لبگ صورت گرفته  است. به شکل‌های گوناگونِ قضیۀ بولتسانو-وایرشتراس که در درسگفتارهای منتشرنشدۀ وایرشتراس موجود است، توجهی ویژه خواهیم کرد. نخستین تلاش ناکامی را که در نوشته‌ای منتشرنشده از دِدِکیند برای تعریف مجموعه‌های باز صورت گرفته است و همچنین نزدیک شدنِ پئانو و ژُردان را به تعریف این مجموعه ها مورد بحث قرار می‌دهیم. در‌عین‌حال، با بررسی تأثیر متقابل آن سه مفهوم (در کنار مفاهیم بستار و مجموعۀ مشتق) می‌کوشیم تا شالوده‌های اصلی توپولوژی عمومی در نیمۀ نخست قرن بیستم را آشکار سازیم.
کلیدواژه‌ها

موضوعات


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‎Livre III‎. ‎Topologie g'{e}n'{e}rale‎, ‎Chapitre I‎: ‎Structures Topologiques‎, ‎2nd‎. ‎edn.‎, ‎Actualit'{e}s Scientifiques et Industrielles‎, ‎vol‎. ‎1142‎, ‎Hermann‎, ‎Paris‎, ‎1951‎.
 
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17‎
‎Cantor‎, ‎G.‎,  ‎"{U}ber unendliche lineare punktmannichfaltigkeiten‎, ‎4‎. Mathematische Annalen‎, 21 (1883a)‎, ‎51–58‎.
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18‎
‎Cantor‎, ‎G.‎, ‎"{U}ber unendliche lineare punktmannichfaltigkeiten‎, ‎5‎. Mathematische Annalen‎, 21 (1883b)‎, ‎545–586‎.
‎Reprinted in cite[pp‎. ‎165–209] 20‎, ‎Pagination agrees with the reprint‎.
 
19‎
‎Cantor‎, ‎G.‎,  ‎"{U}ber unendliche lineare punktmannichfaltigkeiten‎, ‎6‎. Mathematische Annalen‎, 23 (1884)‎, ‎453–488‎.
‎Reprinted in cite[pp‎. ‎210–244] 20‎, ‎Pagination agrees with the reprint‎.
 
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75‎
 ‎Schoenflies‎, ‎A.‎,  ‎Beitr"{a}ge zur theorie der punktmengen I.‎, Mathematische Annalen‎, 58 (1904)‎, ‎195–238‎.
 
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‎Seifert‎, ‎H.‎, ‎Threlfall‎, ‎W.‎,   Lehrbuch der Topologie‎, ‎Teubner‎, ‎Leipzig‎, ‎1934‎.
 
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‎Sierpi'{n}ski‎, ‎W.‎, ‎La notion de d'{e}riv'{e}e comme base d’une th'{e}orie des ensembles abstraits‎,  Mathematische Annalen‎,  97 (1926)‎, ‎321–337‎.
 
78‎
‎Sierpi'{n}ski‎, ‎W.‎,  Topologia Ogólna‎, ‎Kasa im‎. ‎Mianowskiego‎, ‎Warsaw‎, ‎1928‎.
 
79‎
‎Sierpi'{n}ski‎, ‎W.‎, Introduction to General Topology‎, ‎University of Toronto‎, ‎Toronto‎, ‎1934‎.
 
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‎Tannery‎, ‎J.‎,  ‎Review of Cantor‎, Bulletin des Sciences Math'{e}matiques et Astronomiques‎, 2  (1884)‎, ‎no‎. ‎2‎, ‎162–171‎.
 
81‎
‎Tannery‎, ‎J.‎,  Introduction à la Th'{e}orie des Fonctions d’une Variable‎, ‎Hermann‎, ‎Paris‎, ‎1884‎.
 
82‎
‎Tannery‎, ‎J.‎,  ‎Review of Peano‎,  Bulletin des Sciences Math'{e}matiques et Astronomiques‎, 11  (1887)‎, ‎no‎. ‎2‎,  ‎237–239‎.
 
83‎
‎Tietze‎, ‎H.‎,  ‎Beitr"{a}ge zur allgemeinen topologie I‎: ‎Axiome f"{u}r verschiedene fassungen des umgebungsbegriffs‎,  Mathematische Annalen‎,  88 (1923)‎, ‎290–312‎.
 
84‎
‎Veblen‎, ‎O.‎,  The Cambridge Colloquium 1916‎, ‎Part II‎: ‎Analysis Situs‎, ‎American Mathematical Society‎, ‎New York‎, ‎1922‎.
 
85‎
‎Weierstrass‎, ‎C.‎,  Prinzipien der Theorie der analytischen Functionen‎, ‎Unpublished lecture notes taken by Moritz Pasch at the University of Berlin‎, ‎Kept in Pasch’s Nachlass at the University of Gießen‎, ‎1865–1866‎.
 
86‎
‎Weierstrass‎, ‎C.‎, Einf"{u}hrung in die Theorien der Analytischen Functionen‎, ‎Lecture notes taken by Wilhem Killing in 1868‎, ‎Published in 1986 in Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universit"{a}t M"{u}nster (2)‎,
‎Heft 38‎, ‎1868/1986‎.
 
87‎
‎Weierstrass‎, ‎C.‎,  Einleitung in die Theorien der Analytischen Functionen‎, ‎Lecture notes taken by G‎. ‎Hettner at Berlin in the summer semester of 1874‎.
 
88‎
‎Weierstrass‎, ‎C.‎, Zur Theorie der Eindeutigen Analytischen Functionen‎, ‎Abhandlungen der K"{o}nigl‎. ‎Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1876)‎, ‎Reprinted in [1895‎, ‎77–124]‎, ‎Pagination agrees with the reprint‎.
 
89‎
‎Weierstrass‎, ‎C.‎,  Einleitung in die Theorie der Analytischen Funktionen‎, ‎Vorlesung Berlin (1878)‎, ‎in einer Mitschrift von Adolf Hurwitz (Ullrich‎, ‎P.‎, ‎ed.)‎, ‎Vieweg‎, ‎Braunschweig‎, ‎1878/1988‎.
 
90‎
‎Weierstrass‎, ‎C.‎, Zur Functionenlehre‎, ‎Monatsbericht der K"{o}nigl‎, ‎Akademie der Wissenschaften zu Berlin‎, ‎719–743‎, ‎1880‎.
 
91‎
‎Weierstrass‎, ‎C.‎,  Ausgew"{o}hlte Kapitel aus der Funktionenlehre‎, ‎Vorlesung‎, ‎gehalten in Berlin 1886‎. ‎Mit‎
‎der Akademischen Antrittsrede‎, ‎Berlin 1857‎, ‎und drei weiteren originalarbeiten von K‎. ‎Weierstrass aus den jahren‎
‎1870 bis 1880/86  Siegmund-Schultze‎, ‎R.‎, ‎ed.)‎, ‎Teubner‎, ‎Leipzig‎, ‎1886/1988‎.
 
92‎
‎Weierstrass‎, ‎C.‎, Mathematische Werke‎, ‎vol‎. ‎2 (Knoblauch‎, ‎J.‎,  ‎Hettner‎,  ‎G.‎,  ‎Rothe‎, ‎R.‎, ‎eds.)‎, ‎Mayer & M"{u}ller‎, ‎Berlin‎, ‎1895‎.
 
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‎Whyburn‎, ‎G.‎, Analytic Topology‎, ‎American Mathematical Society‎, ‎New York‎, ‎1942‎.
 
94‎
‎Wilder‎, ‎R‎. ‎L.‎,  ‎Evolution of the topological concept of “connected”‎, American Mathematical Monthly‎, 85 (1978)‎, ‎720–726‎.
 
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‎Young‎, ‎W‎. ‎H.‎, ‎Young‎, ‎G‎. ‎C.‎, The Theory of Sets of Points‎, ‎Cambridge University Press‎, ‎Cambridge‎, ‎UK‎, ‎1906‎.
 

  • تاریخ دریافت 12 آبان 1397
  • تاریخ انتشار 01 آبان 1397