اتحاد کوواریانس تعمیم‌یافته برای خانوادهٔ پیرسن با کاربردهایی در تعیین کران‌های پایین واریانس

نوع مقاله : ترجمه

نویسنده

دانشگاه کاشان، دانشکدهٔ ریاضی، گروه آمار

چکیده

در این مقاله نشان می‌دهیم که تحت شرایط گشتاوری معمول، برای یک متغیر تصادفی صحیح‌مقدارِ مطلقاً پیوسته ‎X‎ از خانواده پیرسن ‎(اُرد)‎ اتحاد کوواریانس نوع استاین از مرتبهٔ ‎k‎ برقرار است. این اتحاد به دنبالۀ چندجمله‌ای‌های متعامد متناطر، که توسط فرمول نوع رودریگز به‌دست می‌آید، ارتباط می‌یابد و عبارت‌های مناسبی برای ضرایب فوریه‎‏ٔ هر تابع دلخواه به دست می‌دهد. از این اتحاد کوواریانس عبارت‌های جدیدی را برای کران‌های پایینِ واریانس متناظر به دست می‌آوریم؛ به نظر می‌رسد که این عبارت‌ها فقط در چند مورد خاص، مانند توزیع نرمال و فرایندهای پواسون و وینر‏، شناخته شده‌اند.

کلیدواژه‌ها


[1] Abbey, J. L., David, H. T., The construction of uniformly minimum variance unbiased estimators
for exponential distributions, Ann. Math. Statist., 41 (1970), 1217–1222.
[2] Afendras, G., Papadatos, N., Papathanasiou, V., The discrete Mohr and Noll inequality with applications
to variance bounds, Sankhyã, 69 (2007), 162–189.
[3] Akhiezer, N. I., The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis, New York,
Hafner Publishing Co., 1965.
[4] Asai, N., Kubo, I., Kuo, H., Multiplicative renormalization and generating functions I, Taiwanese
J. Math., 7 (2003), 89–101.
[5] Asai, N., Kubo, I., Kuo, H., Multiplicative renormalization and generating functions II, Taiwanese
J. Math., 8 (2004), 593–628.
[6] Beale, F. S., On a certain class of orthogonal polynomials, Ann. Math. Statist., 12 (1941), 97–103.
[7] Blight, B. J. N., Rao, P. V., The convergence of Bhattacharyya bounds, Biometrika, 61 (1974), 137–
142.
[8] Bobkov, S. G., Götze, F., Houdré, C., On Gaussian and Bernoulli covariance representations,
Bernoulli, 7 (2001), 439–451.
[9] Cacoullos, T., On upper and lower bounds for the variance of a function of a random variable, Ann.
Probab., 10 (1982), 799–809.
[10] Cacoullos, T., Papathanasiou, V., Bounds for the variance of functions of random variables by orthogonal
polynomials and Bhattacharyya bounds, Statist. Probab. Lett., 4 (1986), 21–23.
[11] Cacoullos, T., Papathanasiou, V., Characterizations of distributions by variance bounds, Statist.
Probab. Lett., 7 (1989), 351–356.
[12] Chernoff, H., A note on an inequality involving the normal distribution, Ann. Probab., 9 (1981),
533–535.
[13] Diaconis, P., Zabell, S., Closed form summation for classical distributions: Variations on a theme
of De Moivre, Statist. Sci., 6 (1991), 284–302.
[14] Goldstein, L., Reinert, G., Stein’s method and the zero-bias tranformation with application to simple
random sampling, Ann. Appl. Probab., 7 (1997), 935–952.
[15] Goldstein, L., Reinert, G., Distributional transformations, orthogonal polynomials, and Stein characterizations,
J. Theoret. Probab., 18 (2005), 237–260.
[16] Kagan, A., Variance inequalities for functions of Gaussian variables, J. Theoret. Probab., 8 (1995),
23–30.
[17] Houdré, C., Pérez-Abreu, V. , Covariance identities and inequalities for functionals on Wiener and
Poisson spaces, Ann. Probab., 23 (1995), 400–419.
[18] Johnson, R. W., A note on variance bounds for a function of a Pearson variate, Statist. Decisions,
11 (1993), 273–278.
[19] Johnson, R. W., On characterizations of distributions by mean absolute deviation and variance
bounds, Ann. Inst. Statist. Math., 43 (1991), 287–295.
[20] Lefévre, C., Papathanasiou, V., Utev, S. A., Generalized Pearson distributions and related characterization
problems, Ann. Inst. Statist. Math., 54 (2002), 731–742.
[21] López-Blázquez, F., Salamanca-Miño, B., Estimation based on the winzorized mean in the geometric
distribution, Statistics, 35 (2000), 81–95.
[22] Papathanasiou, V., A characterization of the Pearson system of distributions and the associated orthogonal
polynomials, Ann. Inst. Statist. Math., 47 (1995), 171–176.
[23] Privault, N., Extended covariance identities a nd inequalities, Statist. Probab. Lett., 55 (2001), 247–
255.
[24] Riesz, M., Sur le problème des moments et le théorème de Parseval correspondant (in French), Acta
Litt. Ac. Sci. (Szeged), 1 (1923), 209–225.
[25] Schoutens, W., Orthogonal polynomials in Stein’s method, J. Math. Anal. Appl., 253 (2001), 515–
531.
[26] Seth, G. R., On the variance of estimates, Ann. Math. Statist., 20 (1949), 1–27.
[27] Stein, C. M., A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of
dependent random variables, in Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Statist. Probab., Univ. California
Press, Berkeley, CA, 2 (1972), 583–602.
[28] Stein, C. M., Estimation of the mean of a multivariate normal distribution, Ann. Statist., 9 (1981),
1135–1151.