شش افسانه درباره درونیابی چندجمله ای و فرمول های انتگرال گیری

نوع مقاله : ترجمه

نویسنده

دانشگاه اصفهان، دانشکده علوم، گروه ریاضی

چکیده

چندجمله ای ها از پایه ای ترین مباحث ریاضی است و برای یک ریاضیدان مثل من در حوزۀ آنالیز عددی، نقطۀ آغاز روش های عددی است و تاریخچۀ آن در برخی موارد مانند فرمول های انتگرال گیری عددی و روش های تکرار نیوتن در ریشه یابی، به قرن ها پیش برمی گردد. شاید تا به حال فکر می کردید حقایق اساسی دربارۀ محاسبه با چند جمله ای ها را به خوبی درک کرده اید. در واقع وضعیت تقریباً عکس این است. دیدگاه هایی همه گیر دربارۀ چند جمله ای ها وجود دارد که برخی از مهم ترین آنها اشتباه هستند. در این مقاله به بررسی شش تا از این باورهای نادرست می پردازیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


Boyd‎, ‎J‎. ‎P.‎, ‎Computing zeros on a real interval through Chebyshev‎
‎expansion and polynomial rootfinding‎, SIAM J‎. ‎Numer‎. ‎Anal.,
40 (5) (2002)‎,  ‎1666--1682‎.
 
‎Clenshaw‎, ‎C‎. ‎W.‎,  ‎Curtis‎,  ‎A‎. ‎R.‎, ‎A method for numerical integration‎
‎on an automatic computer, Numer‎. ‎Math.‎, 2 (1960)‎, ‎197--205‎.
 
‎Ehlich‎, ‎H.‎,  ‎Zeller‎, ‎K.‎, ‎Auswertung der Normen von Interpolationsoperatoren‎,
Math‎. ‎Ann.‎, 164  (1966)‎ ,105--112.
 
‎Faber‎, ‎G.‎, ‎"{U}ber die interpolatorische Darstellung stetiger Funktionen‎,
Jahresber‎. ‎Deutsch‎. ‎Math‎. ‎Verein.‎, 23 (1914)‎, ‎190--210‎.
 
‎Gauss‎, ‎C‎. ‎F.‎, ‎Methodus nova integralium valores per approximationem‎
‎inveniendi‎, Comment‎. ‎Soc‎. ‎R‎. ‎Scient‎. ‎Göttingensis Rec.‎,
3  (1814)‎, ‎39--76‎.
 
‎Glaser‎, ‎A.‎,   ‎Liu‎,  ‎X.‎,  ‎Rokhlin‎,  ‎V.‎, ‎A fast algorithm for the calculation‎
‎of the roots of special functions‎, SIAM J‎. ‎Sci‎. ‎Comp.‎, 29 (4) (2007)‎, ‎1420--1438‎.
 
‎Good‎, ‎I‎. ‎J.‎, ‎The colleague matrix‎, ‎a Chebyshev analogue of the‎
‎companion matrix‎, Quart‎. ‎J‎. ‎Math.‎, 12 (1961)‎, ‎61--68‎.
 
 
‎Hale‎, ‎N.‎,  ‎Trefethen‎, ‎L‎. ‎N.‎,  ‎New quadrature formulas from‎
‎conformal maps‎, SIAM J‎. ‎Numer‎. ‎Anal.‎, 46 (2008)‎, ‎930--948‎.
 
  ‎Higham‎,  ‎N‎. ‎J.‎, ‎The numerical stability of barycentric Lagrange‎
‎interpolation‎, IMA J‎. ‎Numer‎. ‎Anal.‎, 24 (4) (2004)‎, ‎547--556‎.
 
‎{O}'Hara‎, ‎H.‎,   ‎Smith‎, ‎F‎. ‎J.‎, ‎Error estimation in the Clenshaw--Curtis quadrature formula‎, Comp‎. ‎J.‎, 11 (1968)‎, ‎213--219‎.
 
‎Kosloff‎, ‎D.‎,  ‎Tal-Ezer H.‎, ‎A modified Chebyshev pseudospectral‎
‎method with an $O(N^1)$ time step restriction‎, J‎. ‎Comp‎. ‎Phys.‎, 104 (1993)‎, ‎457--469‎.
 
‎P'{o}lya‎, ‎G.‎, ‎Über die Konvergenz von Quadraturverfahren‎, Math‎. ‎Z.‎, 37 (1933)‎, ‎264--286‎.
 
‎Runge‎,  ‎C.‎, ‎"{U}ber empirische Funktionen und die Interpolation‎
‎zwischen "{a}quidistanten Ordinaten‎, Z‎. ‎Math‎. ‎Phys.‎, 46 (1901)‎, ‎224--243‎.
 
‎Salzer‎, ‎H‎. ‎E.‎, ‎Lagrangian interpolation at the Chebyshev points $x_{n,v}=cos(vpi/n),,v=0(1)n$; some unnoted advantages‎, Comp‎. ‎J., 15 (1972)‎, ‎156--159‎.
 
‎Specht‎, ‎W.‎, ‎Die Lage der nullstellen eines polynoms‎. ‎III‎, Math‎. ‎Nachr.‎, 16 (1957)‎, ‎363--389‎.
 
L‎. ‎N‎. ‎Trefethen‎, ‎ Spectral Methods in MATLAB‎,  ‎SIAM‎, ‎Philadelphia‎, ‎2000‎.
 
‎Waldvogel‎,  ‎J.‎, ‎Fast construction of the Fejér and Clenshaw-Curtis quadrature rules‎, BIT Num‎. ‎Math.‎, 46 (1) (2006)‎, ‎195--202‎.
 
‎Waring‎, ‎E.‎, ‎Problems concerning interpolations‎, Phil‎. ‎Trans.‎, 69 (1779)‎, ‎59--67‎.
 
‎Weierstrass‎, ‎K.‎, ‎"{U}ber die analytische Darstellbarkeit sogenannter‎
‎willk"{u}rlicher funktionen einer reellen ver"{a}nderlichen‎, Sitzungsberichte‎
‎der Akademie zu Berlin‎, ‎633--639 and 789--805‎, ‎1885‎.
 
  ‎Wilkinson‎, ‎J‎. ‎H.‎, Rounding Errors in Algebraic Processes‎,
‎Prentice-Hall Series in Automatic Computation‎, ‎Dover‎, ‎New York‎, ‎1994‎.
 
‎Wilkinson‎,  ‎J‎. ‎H.‎, The Perfidious Polynomial‎, ‎MAA Stud‎. ‎Num‎.
‎Anal.‎, ‎1984‎.