مباحثی از نظریۀ هندسی توابع بر قرص واحد

نوع مقاله : مقاله علمی - مروری

نویسنده

دانشگاه پیام نور تهران، گروه ریاضی

چکیده

یکی از مباحث بسیار مهم و جالب در آنالیز مختلط، بررسی ویژگی های هندسی تابع هایی است که بر قرص واحد در صفحۀ مختلط تعریف شده اند. روشن است که نمودار تابع تحلیلی ترسیم پذیر نیست اما برد آن توصیف هندسی دارد. از طرف دیگر، کوشش برای  پاسخ دادن به این سؤال که چه ارتباطی بین ویژگی های هندسی برد این گونه تابعها مانند ستاره وار بودن و محدب بودن با ضرایب بسط تیلور وجود دارد، منجر به پیدایش نظریه ای مهم با عنوان ویژگی های هندسی تابع های تک ارز شد که منشاء آن، حدس معروف بیبرباخ است.در این مقاله، ضمن بررسی تاریخی این موضوع،به برخی از کارهای پژوهشی جدید در این زمینه اشاره می‌کنیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


Aghalary‎, ‎R.‎,  ‎Ebadian A.‎,   ‎Wang‎,  ‎Z.-G.‎, ‎Subordination and superordination results involving certain convolution operators‎,         Bull‎. ‎Iranian Math‎. ‎Soc.‎,  36  (2010)‎,  ‎no‎. ‎1‎, ‎137--147‎.
 
          ‎Alexander‎, ‎J‎. ‎W.‎, ‎Functions which map the interior of the unit circle upon simple regions‎,  Ann‎.  ‎Math.‎, 17 (1915-1916)‎, ‎12--22‎.
 
‎Bieberbach‎,  ‎L.‎, ‎"{U}ber die Koeffizienten derjenigen potenzreihen‎, ‎welche eine schlichte abbildung des einheitskreises vermitteln‎,          Sitzungsber‎. ‎Preuss‎. ‎Akad‎. ‎Wiss   .‎, ‎1916‎, ‎940--955‎
 
 
  ‎Bielecki‎, ‎A.‎,  ‎Lewandowski‎, ‎Z.‎, ‎Sur une th'{e}or`{e}me concernant les fonctions univalentes lin'{e}airement accessibles de M‎. ‎Biernacki‎,         Ann‎. ‎Polon‎. ‎Math .‎, 1962)‎, ‎61--63‎.
 
 
‎Campbell‎, ‎D.‎, ‎Majorization-subordination theorems for locally univalent functions III‎, Trans‎. ‎Amer‎. ‎Math‎. ‎Soc.‎, 198 (1974)‎,  ‎297--306‎.
 
  ‎Campbell‎, ‎D‎. ‎M.‎,  ‎Ziegler‎, ‎M‎. ‎R.‎, ‎The argument of the derivative of linear invariant families of finite order and the radius of close-to-convexity‎,  Ann‎. ‎Univ‎. ‎Mariae Curie-Sklodowska‎, ‎Sect‎. ‎A  ‎, 28 (1974)‎, ‎5–22‎.
 
       
‎Charzynski‎, ‎Z.‎,  ‎Schiffer‎,  ‎M.‎,  ‎A new proof of the Bieberbach conjecture for fourth coefficient‎, Arch‎. ‎Rational Mech‎. ‎Anal  .‎, 5  (1960)‎, ‎187--193‎.
 
       
  ‎de Branges‎, ‎L.‎, ‎A proof of the Bieberbach conjecture‎,  Acta Math        .‎, 154  (1985)‎, ‎137--152‎.
 
 
       
        ‎Dorff‎, ‎M.‎, ‎Convolutions of planar harmonic convex mappings‎,         Complex Var‎. ‎Theory Appl .‎, 45  (2001)‎, ‎no‎. ‎3‎, ‎263–271‎.
 
       
  ‎Duren‎, ‎P‎. ‎L.‎, Univalent Functions   ‎, ‎Springer-Verlag‎, ‎New York‎, ‎1983‎.
 
        ‎Duren‎,   ‎P‎. ‎L.‎, Theory of $H^p$ Spaces   ‎, ‎Academic Press‎, ‎New York‎, ‎1970‎.
 
       
          ‎Ebadian‎,  ‎A.‎,  ‎Aghalary R.‎,  ‎Arjomandinia‎, ‎P.‎, ‎Linear invariance order of the minimal invariant families of integral operators‎,         Math‎. ‎Rep.‎,  16   (2014)‎, ‎no‎. ‎2‎, ‎175--182‎.
 
Ebadian‎,  ‎A.‎,  ‎Aghalary R.‎, ‎Shams‎, ‎S.‎, ‎Application of duality techniques to starlikeness of weighted integral transforms‎,         Bull‎. ‎Belg‎. ‎Math‎. ‎Soc‎. ‎Simon Stevin   ‎,  17 (2010)‎, ‎no‎. ‎2‎, ‎275–285‎.
       
‎Garabedian‎,   ‎P‎. ‎R.‎, ‎Inequalities for the fifth coefficient, Comm‎. ‎Pure Appl‎. ‎Math  .‎, 19 (1966)‎, ‎199--214‎.
 
       
‎Garabedian‎,   ‎P‎. ‎R.‎,   ‎Schiffer‎,  ‎M.‎, ‎A coefficient inequality for  schlicht  functions‎, Ann‎.  ‎Math  .‎, 61  (1955)‎, ‎116--135‎.
 
       
‎Grunsky‎,   ‎H.‎, ‎Koeffizientenbedingungen fur schlicht abbildende meromorphe funktionen, Math‎. ‎Z. ‎,  45 (1939)‎, ‎29--61‎.
 
       
‎Hayman‎, ‎W‎. ‎K.‎,   ‎Stewart‎,  ‎F‎.  ‎M.‎, ‎Real inequalities with applications to function theory‎,  Proc‎. ‎Cambridge Phil‎. ‎Soc.‎, 50  (1954)‎, ‎250--260‎.
 
       
          ‎Kaplan‎, ‎W.‎, ‎Close-to-convex schilcht functions‎, Michigan Math‎. ‎J        .‎, 1 (1952)‎, ‎169--185‎.
 
       
  ‎Kargar‎, ‎R.‎, ‎Ebadian‎, ‎A.‎, ‎Sokol‎, ‎J.‎, ‎On Booth lemniscate and starlike functions‎,   Anal‎. ‎Math‎. ‎Phys. DOI 10.1007/s13324-017-0187-3‎
       
‎Kargar‎, ‎R.‎,  ‎Ebadian A.‎,   ‎Sokol‎, ‎J.‎, ‎On subordination of some analytic functions‎,         Sib‎. ‎Math‎. ‎J.  ‎, 57  (2016)‎, ‎no‎. ‎4‎, ‎599--605‎.
 
       
        ‎Kargar‎, ‎R.‎, ‎Ebadian A.‎, ‎Sokol‎, ‎J.‎, ‎Radius problems for some subclasses of analytic functions‎,
        Complex Anal‎. ‎Oper‎. ‎Theory, 11   (2017)‎, ‎no‎. ‎7‎, ‎1639-1649‎
 
       
  ‎Koepf‎,  ‎W.‎, ‎Coefficients of symmetric functions of bounded boundary rotation‎,         Proc‎. ‎Amer‎. ‎Math‎. ‎Soc.‎, 105  (1989)‎,  ‎no‎. ‎2‎, ‎324--329‎.
 
       
‎Kuroki‎, ‎K.‎,  ‎Owa‎, ‎S.‎,  ‎Notes on  new class for certain analytic functions‎,         RIMS Kokyuroku   ‎,  1772  (2011)‎, ‎21--25‎.
 
       
   ‎Kwon‎, ‎Oh S.‎,  ‎Jae Sim‎, ‎Y.‎,  ‎Cho‎, ‎N‎. ‎E.‎,  ‎Srivastava‎, ‎H‎. ‎M.‎,  ‎Some radius problems related to a certain subclass of analytic functions‎,         Acta Math‎. ‎Sinica‎, ‎(English Series)        ‎,          30         (2014)‎,  ‎no‎. ‎7‎, ‎1133–1144‎.
 
       
  ‎Lewandowski‎,  ‎Z.‎, ‎Sur l'identité de certaines classes de fonctions univalentes (I)‎,         Ann‎. ‎Univ‎. ‎Mariae Curie-Sklodowska Sect‎. ‎A        ‎,         12         (1958)‎, ‎131--145‎.
 
 
‎Lindlel"{o        f‎, ‎E.‎,  ‎M'{e}moire sur certaines in'{e}galit'{e}s dans la th'{e}orie des fonctions monog`{e}nes et sur quelques propri'{e}t'{e}s nouvelles de ces fonctions dans la voisinage d'un point singulier essentiel‎,         Acta Soc‎. ‎Sci‎. ‎Fenn        .‎,         35         (1909)‎, ‎no‎. ‎7‎,  ‎1--35‎.
       
        ‎Littlewood‎,   ‎J‎. ‎E.‎, ‎On inequlities in the theory of functions‎,         Proc‎. ‎London Math‎. ‎Soc        .‎,         23         (1925)‎, ‎481--519‎.
 
 
          ‎Loewner‎, ‎K.‎, ‎Untersuchungen über schlichte konforme ‎a‎bbildungen des einheitskreises,         Math‎. ‎Annalen        .‎,         89         (1023)‎, ‎103--121‎.
 
       
  ‎Milin‎,  ‎I‎. ‎M.‎,         Univalent Functions and Orthonormal Systems        ‎, ‎Translations of Mathematical Monographs  (49)‎,  ‎Amer‎. ‎Math‎. ‎Soc.‎, ‎Providence‎, ‎RI‎, ‎1977‎.
 
       
‎Milin‎,   ‎I‎. ‎M.‎, ‎The area method in the theory of univalent functions‎,         Dokl‎. ‎Acad‎. ‎Nauk‎. ‎SSSR. ‎, 154 (1964)‎, ‎264--67‎.
 
       
  ‎Montel‎, ‎P.‎, Lec{c}ons sur les Fonctions Univalentes ou Multivalentes        ‎, ‎Gauthier-Villars‎, ‎Paris‎, ‎1933‎.
 
       
  ‎Nevalinna‎, ‎R.‎, ‎"{U}ber die konforme abbildung von sterngeieten‎,         Ofvers‎. ‎Finska Vet‎. ‎Soc‎. ‎Forh  .‎, 63 (A) (1920-21)‎, ‎no‎. ‎6‎, ‎1--21‎.
 
       
          ‎Ozawa‎, ‎M.‎, ‎On the Bieberbach conjecture for the sixth coefficients‎,  Kodai Math‎. ‎Sem‎. ‎Rep  .‎, 21 (1969)‎, ‎97--128‎.
 
       
        ‎Pederson‎, ‎R‎. ‎N.‎, ‎A proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient‎,  Arch‎. ‎Rational Mech‎. ‎Anal  .‎, 31         (1968-1969)‎, ‎331--351‎.
 
       
        ‎Piejko‎, ‎K.‎, ‎Sokol‎, ‎J.‎, ‎Hadamard product of analytic functions and some special regions and curves‎, J‎. ‎Ineq‎. ‎Appl.‎, ‎(2013)‎, ‎2013:420‎.
 
       
        ‎Pommerenke‎,   ‎Ch.‎, ‎Lacunary power series and univalent functions, Michigan Math‎. ‎J  .‎,  11  (1964)‎, ‎no‎. ‎3‎, ‎219--223‎.
 
 
       
‎Reade‎,   ‎M‎. ‎O.‎, ‎On close-to-convex univalent functions‎,  Michigan Math‎. ‎J        .‎, 3 (1955)‎, ‎no‎. ‎1‎, ‎59--62‎.
 
        Rogosinski‎,  ‎W.‎, ‎On subordinate functions‎,         Proc‎. ‎Cambridge Philos‎. ‎Soc   .‎, 35 (1939)‎, ‎1--26‎.
       
‎Sheil-Small‎, ‎T.‎,  ‎On convex univalent functions‎,         J‎. ‎London Math‎. ‎Soc.‎, 1  (1969)‎, ‎no‎. ‎2‎, ‎483–492‎.
 
       
        ‎Sim‎, ‎Y‎. ‎J.‎,  ‎Kwon‎, ‎Oh S.‎, ‎Notes on analytic functions with a bounded‎
‎positive real part‎,         J‎. ‎Ineq‎. ‎Appl.        ‎, ‎(2013)‎, ‎2013:370‎.
 
       
‎Sokol‎, ‎J.‎, ‎Kargar R.‎,  ‎Ebadian‎, ‎A.‎, ‎Some properties of Booth lemniscate and starlike functions‎, ‎Submitted‎.
 
       
        ‎Suffridge‎,  ‎T‎. ‎J.‎, ‎The principle of subordination applied to functions of several variables, Pacific J‎. ‎Math        .‎,         33         (1970)‎, ‎no‎. ‎1‎,  ‎241--248‎.
 
       
‎Weinstein‎,  ‎L.‎, ‎The Bieberbach conjecture‎,         Internat‎. ‎Math‎. ‎Res‎. ‎Not        .‎,  5  (1991)‎, ‎61--64‎.
 
‏‎[44]‎ سیلورمن، اچ.، متغیرهای مختلط ، ترجمه محسن نقشینه ارجمند، انتشارات دانشگاه اصفهان، چاپ دوم، ‎1374‎.‎