بسیاری از فضاهای مهم در مسائل مربوط به علوم داده یا مهندسی، فضاهای غیرخطیاند. ازاینرو، در سالهای اخیر روشهای عددی برای بهینهسازی تابعهای تعریفشده روی خمینههای ریمانی، مورد توجه و پژوهش بسیاری قرار گرفته است. ازطرفدیگر، هندسهدانانی چون آلیکساندرف و گرومُف، با ابداع فضاهای ژئودزیک، دریچۀ تازهای به مطالعۀ اشیاء هندسی گشودند. این فضاها تعمیم خمینههای ریمانیاند و، علاوهبر مزیتهای دیگر، فاقد پیچیدگیهای تانسوری این خمینهها هستند. این فضاها بسیاری از اشیاء ناهموار ریاضی، ازجمله گرافها یا خمینههای توپولوژیک را هم شامل میشوند. در این مقاله، روش نیوتن برای یافتن نقطۀ مینیمم یک تابع خودسازگار روی فضاهای متری ژئودزیک ارائه میشود. از مزیتهای مهم این نوع بررسی در قیاس با روش نیوتن روی خمینههای ریمانی، سادگی بسیارِ نظریه و کاهش حجم محاسبات است. علیرغم نبود ساختار هموار و جبر تانسوری روی خمینهها، صرفاً با استفاده از مفهوم «خم ژئودزی» نشان میدهیم که میتوان روش نیوتن را بهشکلی موفق و حتی سادهتر روی ردۀ وسیعی از ساختارهای معمول ریاضی طراحی و اجرا کرد.
