مربع محاطی: مسئله‌ای زیبا در هندسه و توپولوژی

نوع مقاله : مقاله مروری

نویسندگان

دانشگاه کاشان، دانشکدۀ علوم ریاضی

چکیده

این مقاله دربارهٔ مسئلهٔ مربع محاطی است که یکی از زیباترین مسائل حل‌نشده در هندسۀ مسطحه است. این مسئله که به حدس توپلیتس نیز مشهور است حاکی از آن است که روی هر خم سادۀ بسته در صفحه، چهار نقطه وجود دارد که رئوس یک مربع‌اند. حدس توپلیتس برای خم‌های محدب و هموار و دسته‌های بزرگ‌تری از خم‌ها ثابت شده است، اما حالت اصلی هنوز مسئلۀ حل نشده‌ای است.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


 
‎[1]‎Akopyan‎, ‎A.‎, ‎Avvakumov‎, ‎S.‎,
‎Any cyclic quadrilateral can be inscribed in any closed convex smooth curve‎, Forum Math‎. ‎Sigma, 6 (2018)‎, ‎e7‎.
 
‎[2]‎Christensen‎, ‎C‎. ‎M.‎, ‎A square inscribed in a convex figure (in Danish)‎, ‎Matematisk Tidsskrift B, ‎(1950)‎, ‎22-26‎.
 
‎[3]‎Emch‎, ‎A.‎,‎Some properties of closed convex curves in a plane‎, ‎Amer‎. ‎J‎. ‎Math., 35 (1913)‎, ‎407-412‎.
 
‎[4]‎Emch‎, ‎A.‎,‎On the medians of a closed convex polygon‎, ‎Amer‎. ‎J‎. ‎Math., 37 (1915)‎, ‎19-28‎.
 
‎[5]‎Emch‎, ‎A.‎,‎On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs‎, ‎Amer‎. ‎J‎. ‎Math., ‎38 (1916)‎, ‎6-18‎.
 
[6]‎Guggenheimer‎, ‎H‎. ‎W.‎, ‎Finite sets on curves and surfaces‎, ‎Israel J‎. ‎Math., ‎3 (1965)‎, ‎104-112‎.
 
‎[7]‎Hugelmeyer‎, ‎C.‎, ‎Every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle with aspect ratio equal to 3 (2018).
 
‎[8]‎Hugelmeyer‎, ‎C‎. , ‎Inscribed rectangles in a smooth Jordan curve attain at least one third of all aspect ratios (2019).
 
‎[9]‎Greene‎, ‎J‎. ‎E.‎, ‎Lobb‎, ‎A.‎, ‎The rectangular peg problem (2020)‎.
[11]Karasev, R. N., A note on Makeev’s conjectures, J. Math. Sci., 212 (2016), 521–526.
[12]Lefschetz, S.,Introduction to Topology, Princeton University Press, Princeton, 1949.
[13]Matschke, B., A survey on the square peg problem, Notices Amer. Math. Soc., 61 (April 2014),
346–351.
[14]Matschke, B., Quadrilaterals inscribed in convex curves (2018),
[15]Meyerson, M. D., Equilateral triangles and continuous curves, Fund. Math., 110 (1980), 1–9.
[16]Nielsen, M. J., Triangles inscribed in simple closed curves, Geom. Dedicata, 43 (1992), 291–297.
[17]Nielsen, M. J., Wright, S. E., Rectangles inscribed in symmetric continua, Geom. Dedicata, 56
(1995), 285–297.
[18]Schwartz, R. E., A trichotomy for rectangles inscribed in Jordan loops, Geom. Dedicata, 208 (2020),
177–196.
[19]Schnirelman, L. G., On some geometric properties of closed curves (in Russian), Uspekhi Mat.
Nauk, 10 (1944), 34–44.
[20]Stromquist, W. R., Inscribed squares and squarelike quadrilaterals in closed curves, Mathematika,
36 (1989), 187–197.
[21]Tao, T., An integration approach to the Toeplitz square peg problem, Forum Math. Sigma, 5 (2017),
[22]Toeplitz, O., Ueber einige Aufgaben der Analysis situs, Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden
Gesellschaft in Solothurn, 4 (1911), 197.
[23]Tucker, A. W., Some topological properties of disk and sphere, in Proc. First Canadian Mathematical
Congress (Montreal, 1945), University Toronto Press, 1946, 285–309.
[24]Vaughan, H., Rectangles and simple closed curves, Lecture, University of Illinois at Urbana-
Champagne.
[10]‎Zindler‎, ‎K.‎, ‎Uber konvexe Gebilde‎,Monatshefte fur Mathematik und Physik, 31 (1921)‎, ‎25-56‎.