آیا حساب متعیّن است؟

نوع مقاله : مقاله ترویجی

نویسنده

دانشگاه شهید بهشتی، دانشکده علوم ریاضی

چکیده

آیا حساب متعیّن و قطعی است؟ به‌عبارت‌دیگر، آیا به ازای هر حکمی در حسابِ اعداد طبیعی، دلیلی برای درستی یا نادرستی آن حکم وجود دارد؟ برای مثال، آیا شواهدی برای درستی یا نادرستی حدس گولدباخ وجود دارد ‌حتی اگر ما از آن‌ها آگاه نباشیم؟ در وهلهٔ اول به نظر می‌رسد که پاسخ به‌وضوح مثبت است‎‏‏، اما از کجا مطمئن باشیم؟ قضیهٔ ناتمامیت گودل در این مورد چه می‌گوید؟ مستقل بودن برخی احکام نظریهٔ مجموعه‌ها مانند اصل انتخاب و فرضیهٔ پیوستار ‌ چه ارتباطی با این موضوع دارد؟ در این مقاله به بررسی این پرسش‌ها می‌پردازیم. علاوه‌بر‌این، تأثیر وجود امکانات نامتعارفی از قبیل ماشین‌های محاسبی که قادر به انجام تعدادی نامتناهی دستورالعمل در زمانی متناهی‌اند و همچنین دستگاه‌های اثباتی مجهز به قواعد نامتناهی را بر پاسخ این پرسش‌ها بررسی خواهیم‌ کرد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1]آقایی، مجتبی، مروری بر نظریۀ اثبات، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی، شمارۀ 35 (1384) 55-71.
[2]منیری، مرتضی، حساب مرتبۀ اول پئانو و زیرنظریه های آن همراه با چند مسألۀ مرتبط در نظریۀ پیچیدگی، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی، شمارۀ 35 (1384) 33-54.
[3]  منیری، مرتضی، فلسفه‌های ریاضی، دانشگاه شهید بهشتی، تهران، 1390.
[4]Benacerraf, P., Putnam, Introduction, in Philosophy of Mathematics,  Benacerraf, H. Putnam, H., eds., Cambridge University Press, Cambridge, 1983.
[5]Cevik, A., Philosophy of Mathematics: Classic and Contemporary Studies, Chapman & Hall/CRC,
2021.
[6]Girard, J.-Y., Proof theory and logical complexity, vol. I, Bibliopolis, Naples, 1987.
[7]Hamkins, J. D., Lewis, A., Infinite time Turing machines, J. Symbolic Logic, 65 (2000), 567–604.
[8]Ignjatović, A., Hilbert’s program and the omega-rule, J. Symbolic Logic, 59 (1994), 322-343.
[9]Manchak, J. B., Roberts, B. W., Supertasks (2016), in The Stanford
Encyclopedia of Philosophy, E. N. Zalta, ed.
[10]Raatikainen, P., Gödel’s iIncompleteness theorems (2022), in The
Stanford Encyclopedia of Philosophy, E. N. Zalta, ed.
[11]Rathjen, M., Sieg, W., Proof theory (2020), in The Stanford Encyclopedia of Philosophy, E. N. Zalta,
ed.
[12]Warren, J., Infinite reasoning, Philosophy and Phenomenological Research, 103 (2021), 385-407.
[13]Warren, J., Waxman, D., Supertasks and arithmetical truth, Philosophical Studies, 177 (2020), 1275-
1282.
[14]Warren, J., Waxman, D., A metasemantic challenge for mathematical determinacy, Synthese, 197
(2020), 477-495.