در تقابل با اصل کاوالی‌یری؟ مثالی پارادوکس‌گونه در دینامیک

نوع مقاله : مقاله ترویجی

نویسندگان

1 پژوهشگاه دانش‌های بنیادی،‌ پژوهشکده ریاضیات

2 دانشگاه صنعتی شریف، دانشکده علوم ریاضی

چکیده

خانواده‌ای پیوسته از خم‌‌های هموار و مجزا در مربع یکه وجود دارد که آن را افراز می‌کند و می‌توان با انتخاب حداکثر یک نقطه از هر خم‎‏‏، مجموعه‌ای اندازه‌پذیر ساخت که مساحت آن برابر ‎یک‎ باشد. اما این حکم با شهود ما در تناقض است‎!‎ شهودی که از اصل کاوالی‌یری و قضیهٔ فوبینی برگرفته‌ایم. پس مشکل از کجاست؟ در این یادداشت به اثبات حکم بالا و پاسخ به این پرسش می‌پردازیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1]استرویک، د. ج. ، تاریخ فشرده ریاضیات، ترجمه غلامرضا برادران خسروشاهی و حسن کامرانی، نشر نو، تهران، 1366.
[2]کلاینر، ایسرائل، تاریخچۀ بی نهایت کوچکها و بی نهایت بزرگها در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، ترجمۀ روح الله جهانی پور و سعید مقصودی، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی، شمارۀ 65 (1398) 77-121.
[3]میلنر، جان، قضیۀ فوبینی نقش بر آب می شود (!): مثال پارادوکس گونۀ کاتوک در نظریۀ اندازه، ترجمۀ روح الله جهانی پور، نشر ریاضی، شمارۀ 18 (1387) 24-26.
[4]Anosov, D. V., Ergodic properties of geodesic flows on closed Riemannian manifolds of negative
curvature , Soviet. Math. Dokl., 4, 1153–1156; English translation from Dokl. Akad. Nauk, 151
(1963), 1250-1252.
[5]Anosov, D. V., Sinaĭ, Ya. G., Some smooth ergodic systems, With an appendix by G. A. Margulis
(in Russian), Uspekhi Mat. Nauk 22, 107–172; translation from Uspekhi Mat. Nauk, 22 (1967),
107-172.
[6]Avila, A., Viana, M., Wilkinson, A., Absolute continuity, Lyapunov exponents and rigidity, I”
Geodesic flows, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17 (2015) No. 6, 1435-1462.
[7]Brin, M., Stuck, G., Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge,
2015.
[8]Camacho, C., Lins Neto, A., Geometric Theory of Foliations (transl. from the Portuguese by Sue E.
Goodman), Birkhäuser, Boston-Base-Stuttgart, 1985.
[9]Gogolev, A., How typical are pathological foliations in partially hyperbolic dynamics: an example,
Israel J. Math., 187 (2012), 493-507.
[10]Hirayama, M., Pesin, Y., Non-absolutely continuous foliations, Israel J. Math., 160 (2007), 173-
187.
[11]Hasselblatt, A., Anatole Katok—A half-century of dynamics, Notices Amer. Math. Soc., 66 (2019),
708-719.
[12]Hirsch, M. W., Pugh, C. C., Shub, M., Invariant Manifolds, Lecture Notes in Mathematics, vol. 583,
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1977.
[13]Lam, L.-Y., Shen, K., The Chinese concept of Cavalieri’s principle and its applications, Historia
Math., 12 (1985), 219-228.
[14]Milnor, J., Fubini foiled: Katok’s paradoxical example in measure theory, Math. Intelligencer, 19
(1997), 30-32.
[15]O’Connor, J. J., Robertson, E. F., MacTutor History of Mathematics
Archives, “Overview of Chinese mathematics”
[16]Ruelle, D., Wilkinson, A., Absolutely singular dynamical foliations, Commun. Math. Phys., 219
(2001), 481-487.
[17]Shen, K., Crossley, J. N., Lun, A. W-C., The Nine Chapters on the Mathematical Art, Companion
and Commentary, Oxford University Press, Beijing, 1999.
[18]Shub, M., Wilkinson, A., Pathological foliations and removable zero exponents, Invent. Math., 139
(2000), 495-508.
[19]Stein, E. M., Shakarchi, R., Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces,
Princeton University Press, NJ, 2005.
[20]Stillwell, J. C., Archimedes’ Lost Method (14 December 2007), in Encyclopedia Britannica.
[21]Viana, M., Yang, J., Physical measures and absolute continuity for one-dimensional center direction,
Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. Non Linéaire, 30 (2013), 845-877.