چرا آیزنشتاین محک آیزنشتاین را اثبات کرد و چرا اصلا شونمان آن ‌را کشف کرد

نوع مقاله : ترجمه

نویسنده

دانشگاه آیت‏‌الله العظمی بروجردی، گروه ریاضی

چکیده

در این مقاله به بررسی تاریخچۀ محک تحویل‌ناپذیری آیزنشتاین   می‌پردازیم و شرح می‌دهیم که چطور تئودور شونمان این محک را قبل از آیزنشتاین کشف کرد. آیزنشتاین و شونمان از کتاب تحقیقات حسابی گاوس الهام گرفته بودند، اگرچه مسیرهای بسیار متفاوتی را برای اکتشافات خود در پیش گرفتند. در این مقاله موضوعات گوناگونی از نظریه اعداد در  قرن نوزدهم، از جمله لم گاوس، میدان‌های متناهی، خم پروانه، انتگرال‌های بیضوی، گروه‌های آبلی، اعداد صحیح گاوسی، و لم هنزل مورد بحث قرار خواهند گرفت.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] Abel, N. H., Oeuvres complètes de Niels Henrik Abel, vol. I, L. Sylow, S. Lie, eds., Grøndahl &
Søn, Christiana, 1881.
[2] Allgemeine Deutsche Biographie, Duncker & Humblot, Leipzig, 1875–1912; also available
at http://www.deutsche-biographie.de/ ndb/adb_index.html and
http://de.wikisource.org/wiki/Allgemeine_Deutsche_Biographie.
[3] Cox, D. A., The arithmetic-geometric mean of Gauss, Enseign. Math., 30 (1984), 275-330; reprinted
in Pi: A Source Book, L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, eds., 3rd ed., Springer, New York, 2003,
481-536.
[4] Cox, D. A., Primes of the Form x2 + ny2, Wiley, Hoboken, NJ, 1989.
[5] Cox, D. A., Galois Theory, Wiley, Hoboken, NJ, 2004.
[6] Dedekind, R., Abriß einer Theorie der höheren Kongruenzen in bezug auf einen reellen Primzahl-
Modulus, J. Reine Angew. Math., 54 (1857), 269-325; reprinted in Gesammelte mathematische
Werke, vol. I, E. Noether, O. Ore, eds., Vieweg, Braunschweig, 1930, 40-67.
[7] Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, Carnegie Institute, Washington, DC, 1919-1923;
reprinted by Chelsea, AMS Chelsea, Providence, RI, 1969.
[8] Dorrie, H., Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer
Kultur, Fredrich Hirt, Breslau, 1933; English trans. of 5th ed. by D. Antin, 100 Great
Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, Dover, Mineola, NY, 1965.
[9] Dorwart, H. L., Irreducibility of polynomials, Amer. Math. Monthly, 42 (1935), 369-381.
[10] Eisenstein, F. G., Mathematische Werke, vol. II; reprinted by Chelsea, AMS Chelsea, Providence,
RI, 1989.
[11] Frei, G., The unpublished section eight: On the way to function fields over a finite field, in The
Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae, C. Goldstein, N. Schappacher,
J. Schwermer, eds., Springer, Berlin, 2007, 159-198.
[12] Galois, E., Écrits et Mémoires Mathématiques D’Évariste Galois, R. Bourgne, J.-P. Azra, eds.,
Gauthier-Villars, Paris, 1962.
[13] Gauss, C. F., Disquisitiones Arithmeticae, G. Fleischer, Leipzig, 1801; reprinted in 1863 as vol. I of
[14]; German trans. by H. Maser, Untersuchungen über Höhere Arithmetik, Springer, Berlin, 1889;
reprinted by Chelsea, New York and AMS Chelsea, Providence, RI, 1965; English trans. by A. A.
Clarke, Yale University Press, New Haven, 1966; reprinted by Springer, New York, 1986.
[14] Gauss, C. F.,Werke, König. Gesell. Wissen., Göttingen, 1863-1927; vols. I–IX available at
http://www. wilbourall.org (search for “Carl”).
[15] Gauss, C. F., Mathematical Diary (original manuscript in Latin): Handscriftenabteilung Niedersächsische
Staats- und Universitätsbibliotek Göttingen, Cod. Ms. Gauß Math. 48 Cim. Ed.
[16] Gouvêa, F., p-adic Numbers: An Introduction, Springer, New York, 1993.
[17] Jordan, C., Traité des substitutions et des équations algébriques, Gauthier-Villars, Paris, 1870; 2nd
ed., 1957.
[18] Kronecker, L., Werke, B. G. Teubner, Leipzig, 1895-1931; reprinted by Chelsea, AMS Chelsea,
Providence, RI, 1968.
[19] Lemmermeyer, F., Reciprocity Laws, Springer, New York, 2000.
[20] Moore, E. H., A doubly-infinite system of simple groups, in Mathematical Papers Read at the
International Mathematical Congress, 1893, Cambridge University Press, Cambridge, 1896.
[21] O’Connor J. J., Robertson, E. F., Mactutor History of Mathematics Archive, available at
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html.
[22] Prasolov V., Solovyev, Y., Elliptic Functions and Elliptic Integrals, American Mathematical Society,
Providence, RI, 1997.
[23] Rosen, M., Abel’s theorem on the lemniscate, Amer. Math. Monthly, 88 (1981), 387-395.
[24] Schönemann, T., Grundzüge einer allgemeinen Theorie der höhern Congruenzen, deren Modul eine
reelle Primzahl ist, J. Reine Angew. Math., 31 (1845), 269-325.
[25] Schönemann, T., Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind, J. Reine Angew.
Math., 32 (1846), 93-105.
[26] T. Schönemann, Notiz, J. Reine Angew. Math., 40 (1850), 188.
[27] Serre, J.-P., Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math., 15
(1972), 259-331.
[28] Silverman J., Tate, J., Rational Points on Elliptic Curves, Springer, New York, 1992.
[29] van der Waerden, B. L., Moderne Algebra, Springer, Berlin, 1930.
[30] Weber, H., Lehrbuch der Algebra, 2nd ed., Vieweg, Braunschwieg, 1898-1908; reprinted by
Chelsea, AMS Chelsea, Providence, RI, 1961.