فرهنگ و اندیشه ریاضی

فرهنگ و اندیشه ریاضی

قضیۀ حد دوگانۀ گروتندیک و نظریۀ مدل‌‌ها

نوع مقاله : مقاله ترویجی

نویسنده
دانشگاه صنعتی اراک، دانشکده علوم پایه؛ و پژوهشگاه دانش‌های بنیادی،‌ پژوهشکده ریاضیات
چکیده
در این مقاله سرگذشت یکی از نخستین دستاوردهای گروتندیک در آنالیز تابعی را مطالعه می‌کنیم که اخیراً ارتباط شگفت‌انگیز آن با نظریۀ مدل‌ها کشف شده است. نشان خواهیم داد که قضیۀ بنیادی نظریۀ پایداری، که توسط شِلا‎‏ح در دهۀ هفتاد ثابت شد، اساساً نتیجه‌ای از قضیۀ حد دوگانۀ گروتندیک است که در رسالۀ دکترای او در دهۀ پنجاه اثبات شده است. همچنین در مورد تعبیر قضیۀ گروتندیک در نظریهٔ مدل‌ها بحث خواهیم کرد و این قضیه را برای انواع عموماً پایدار بیان خواهیم کرد. در پایان، در مورد برخی کاربردها و نتایج محتمل این قضیه بحث می‌کنیم.
کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] Atiyah, M., The unity of mathematics, Bull. Lond. Math. Soc., 10 (1978), 69-76.
[2] Ben-Yaacov, I., Model theoretic stability and definability of types, after A. Grothendiek, Bull. Symbolic Logic, 20 (2014), 491-496.
[3] Ben-Yaacov, I., Berenstein, A., Henson, C. W., Usvyatsov, A., Model theory for metric structures, in Model theory with Applications to Algebra and Analysis, vol. 2, Z. Chatzidakis, D. Macpherson, A. Pillay, A. Wilkie, eds., Cambridge University Press, Cambridge, 2008.
[4] Bourgain, J., Fremlin, D. H., Talagrand, M., Pointwise compact sets of Baire-measurable functions, Amer. J. Math., 100 (1978), no. 4, 845-886.
[5] Conant, G., Gannon, K., Hanson, J., Keisler measures in the wild, J. Model Theory, 2 (2023), no. 1, 1-67.
[6] Eberlein, W. F., Weak compactness in Banach spaces. I, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 33 (1947), no. 3, 51-53.
[7] Fremlin, D., Measure Theory, vol. 4, Topological Measure Spaces, Torres Fremlin, Colchester, 2006.
[8] Gannon, K., Sequential approximations for types and Keisler measures, Fund. Math., 257 (2022), 305-336.
[9] Grothendieck, A., Critères de compacité dans les espaces fonctionnels généraux, Amer. J. Math., 74 (1952), 168-186.
[10] Hrushovski, E., Peterzil, Y., Pillay, A., Groups, measures, and the NIP, J. Amer. Math. Soc., 21 (2008), no. 2, 563-596.
[11] Hrushovski, E., Pillay, A., On NIP and invariant measures, J. Eur. Math. Soc., 13 (2011), 1005-1061.
[12] Iovino, J., Stable models and reflexive Banach spaces, J. Symbolic Logic, 64 (1999), 1595-1600.
[13] Khanaki, K., Remarks on convergence of Morley sequences, J. Symbolic Logic, 89 (2024), no. 3, 1339-1357.
[14] Krivine, J.-L., Maurey, B., Espaces de Banach stables, Israel J. Math., 39 (1981), no. 4, 273-295.
[15] Pietsch, P., History of Banach Spaces and Linear Operators, Birkhäuser, Boston, 2008.
[16] Pillay, A., An Introduction to Stability Theory, Oxford University Press, Oxford, 1983.
[17] Pillay, A., Dimension and homogeneity for elementary extensions of a model, J. Symbolic Logic, 47 (1982), no. 1, 147-160.
[18] Pillay, A., Geometric Stability Theory, Oxford University Press, Oxford, 1996.
[19] Pillay, A., Generic Stability and Grothendieck, South American J. Logic, 2 (2016), no. 2, 437-442.
[20] Pillay, A., Tanović, P., Generic stability, regularity, and quasiminimality, models, logics, and higher-dimensional categories, in CRM Proc. Lecture Notes, vol. 53, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, 189-211.
[21] Poizat, B., Sous-groupes définissables d'un groupe stable, J. Symbolic Logic, 46 (1981), no. 1, 137-146.
[22] Poizat, B., Groupes stables avec types génériques réguliers, J. Symbolic Logic, 48 (1983), no. 2, 339-355.
[23] Poizat, B., Stable Groups (trans. from the 1987 French original), Mathematical Surveys and Monographs, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
[24] Shelah, S., Stability, the f.c.p., and superstability; Model theoretic properties of formulas in first order theory, Ann. Math. Log., 3 (1971), no. 3, 271-362.
[25] Simon, P., Invariant types in NIP theories, J. Math. Log., 15 (2015), no. 2, 1550006.
[26] Starchenko, S., On Grothendieck's approach to stability, 2017 (unpublished note), available at https://www3.nd.edu/~sstarche/papers/groth-stab.pdf.
[27] Young, N.J., On Pták's double-limit theorems, Proc. Edinb. Math. Soc., 17 (1971), no. 3, 193-200.

  • تاریخ دریافت 10 اسفند 1401
  • تاریخ بازنگری 06 فروردین 1402
  • تاریخ پذیرش 06 فروردین 1402
  • تاریخ انتشار 01 آذر 1403