توپولوژی تعمیم یافته چیست و منشا آن کجاست؟

نوع مقاله : مقاله مروری

نویسندگان

1 دانشگاه یزد، دانشکده علوم ریاضی

2 دانشگاه شهید چمران اهواز، دانشکده علوم ریاضی و کامپیوتر

چکیده

توپولوژی تعمیم یافته بر مجموعۀ X با جایگزین کرده خانواده ای از زیرمجموعه های X به جای خانوادۀ مجموعه های باز به دست می آید. مجموعۀ X مجهز به توپولوژی تعمیم یافته، فضای توپولوژیک تعمیم یافته نامیده می شود. در این مقاله، تاریخچۀ توپولوژی های تعمیم یافته را به تفصیل دنبال می کنیم تا خواننده دریابد که چگونه توپولوژی دانان به معرفی فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته رهنمون شدند. در این راه، با مفاهیم اولیۀ فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته و برخی از ویژگی های ابتدایی آنها آشنا می شویم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


خیّری، رسول، ‎{\em $\mu$-‎جداسازی‌ها در فضاهای توپولوژیک تعمیم‌یافته}، پایان‌نامۀ کارشناسی ارشد، دانشگاه شهید چمران اهواز، ‎1390‎.
 
ا. صمدی نسب،  ‎{\em‎
یک توپولوژی جدید روی فضای دیجیتال و برخی از نتایج آن}، پایان‌نامۀ کارشناسی ارشد، دانشگاه یزد ‎(1391)‎.
 
 
Abd El-Monsef‎, ‎M‎. ‎E.‎,  ‎El-Deeb‎,   ‎S‎. ‎N.‎,   ‎Mahmoud‎, ‎R‎. ‎A.‎, ‎$\beta$-open sets and $\beta$-continuous mappings‎, {Bull‎. ‎Fac‎. ‎Sci‎. ‎Assiut Univ.}‎, {12} (1983)‎, ‎77--90‎.
 
 
Alexandroff‎, ‎P.‎, ‎Diskrete R\"{a}ume‎, { Mat‎. ‎Sb‎. ‎(N.S.)}‎, {2} (1937)‎, ‎501--518‎.
 
 
 
Arya‎,  ‎S.‎, ‎Nour‎,  ‎T.‎, ‎Characterizations of $s$-normal spaces‎,  ‎\textit{Indian J‎. ‎Pure Appl‎. ‎Math.}‎, {21} (1990)‎, ‎717--719‎.
 
Balachandran‎, ‎K.‎,  ‎Sundaram‎, ‎P.‎,   ‎Maki‎, ‎H.‎, ‎On generalized continuous maps in topological spaces‎,  {Mem‎. ‎Fac‎. ‎Sci‎. ‎Kochi Univ‎. ‎Ser‎. ‎A Math.}‎, {12 }(1991)‎, ‎5--13‎.
 
 
  Bhattacharya‎, ‎P.‎,   ‎Lahiri‎, ‎B‎. ‎K.‎,  ‎Semi-generalized closed sets in topology‎,  {Indian J‎. ‎Math.}‎, {29} (1987)‎, ‎375--382‎.
 
 
 
Borges‎,  ‎C‎. ‎J‎. ‎R.‎, ‎On extensions of topologies‎,  {Can‎. ‎J‎. ‎Math.}‎, ‎\textbf{19}  (1967)‎, ‎474--487‎.
 
  Bourbaki‎, ‎N.‎, {General Topology}‎, ‎Springer-Verlag‎, ‎Berlin‎, ‎1989‎.
 
 
 
Cao‎,  ‎J.‎,  ‎Ganster  M.‎,   ‎Reilly‎,  ‎I.‎, ‎On generalized closed sets‎,  ‎\textit{Topology \& Appl.}‎, {123} (2002)‎, ‎37--46‎.
 
 
 
Cs\'{a}sz\'{a}r‎, ‎\'{A}.‎, { Foundations of General Topology}‎, ‎Macmillan‎, ‎London‎, ‎1963‎.
 
Cs\'{a}sz\'{a}r‎,  ‎\'{A}.‎, ‎Further remarks on the formula for $\gamma$-interior‎, ‎\em Acta‎. ‎Math‎. ‎Hungar.,} { 113}  (2006)‎, ‎no‎. ‎4‎, ‎325--332‎.
 
 
 
 Cs\'{a}sz\'{a}r‎, ‎\'{A}.‎, ‎$\gamma$-connected sets‎, ‎\em Acta‎. ‎Math‎. ‎Hungar.,} {101}  (2003)‎, ‎no‎. ‎4‎, ‎273--279‎.
 
{Cs\'{a}sz\'{a}r‎, ‎\'{A}.‎,  ‎Generalized open sets‎, ‎\em Acta‎. ‎Math‎. ‎Hungar.,}‎
‎\textbf{75}  (1997)‎, ‎no‎. ‎1-2‎, ‎65--87‎.
 
Cs\'{a}sz\'{a}r‎, ‎\'{A}.‎, ‎Generalized open sets in generalized topologies‎, ‎\em Acta‎. ‎Math‎. ‎Hungar.,}‎
  (2005)‎, ‎no‎. ‎1-2‎, ‎53--66‎.
 
Cs\'{a}sz\'{a}r‎,  ‎\'{A}.‎, ‎Generalized  topology‎, ‎generalized  continuity‎, ‎\em  Acta‎.  ‎Math‎. ‎Hungar.}‎, {96} (2002)‎, ‎351--357‎.
 
 
 
Cs\'{a}sz\'{a}r‎,  ‎\'{A}.‎, ‎Separation  axioms   for  generalized   topologies‎, ‎\em  Acta‎.  ‎Math‎. ‎Hungar.}‎, { 104} (2004)‎, ‎63--69‎.
 
Cs\'{a}sz\'{a}r‎,  ‎\'{A}.‎, ‎Simultaneous extensions of topologies through traces of neighbourhood filters‎, ‎\em  Acta‎.  ‎Math‎. ‎Hungar.}‎, {91} (2001)‎, ‎187--193‎.
 
Cs\'{a}sz\'{a}r‎, ‎\'{A}.‎, ‎Weak structures‎, ‎\em  Acta‎.  ‎Math‎. ‎Hungar.}‎, 131} (2011)‎, ‎193--195‎.
 
 
 
{ Devi‎,  ‎R.‎,  ‎Balachandran‎,  ‎K.‎,  ‎Maki‎, ‎H.‎, ‎On generalized $\alpha$-continuous maps and $\alpha$-generalized continuous maps‎, ‎\em Far East J‎. ‎Math‎. ‎Sci.,} {1 }(1997)‎, ‎1--15‎.
 
 
 
Doitchinov‎,  ‎D‎. ‎B.‎, ‎A unified theory of topological spaces‎, ‎proximity spaces and uniform spaces‎, ‎\em Soviet Math‎. ‎Dokl.}‎, ‎\textbf{ 5 }(1964)‎, ‎595--598‎.
 
Dontchev‎, ‎J.‎, ‎Characterization of some peculiar topological spaces via $\mathcal{A}$‎- ‎and $\mathcal{B}$-sets‎, ‎\em  Acta‎.  ‎Math‎. ‎Hungar.}‎, 69 } (1995)‎, ‎no‎. ‎1-2‎,  ‎67--71‎.
 
Dontchev‎, ‎J.‎, ‎On generating semi-preopen sets‎, ‎\em  Mem‎. ‎Fac‎. ‎Sci‎. ‎Kochi Univ‎. ‎Ser‎. ‎A Math.}‎, ‎\textbf{ 16}  (1995)‎, ‎35--48‎.
 
 Dontchev‎, ‎J.‎,  ‎Ganster‎, ‎M.‎, ‎On $\delta$-generalized closed sets and $T_{{\text{3}}/{\text{4}}}$-spaces‎, ‎\em  Mem‎. ‎Fac‎. ‎Sci‎. ‎Kochi Univ‎. ‎Ser‎. ‎A Math.}‎, ‎\textbf{ 17}  (1996)‎, ‎15--31‎.
 
Dunham‎, ‎W.‎,  ‎$T_{{\text{1}}/{\text{2}}}$-spaces‎, ‎\em  Kyungpook Math‎. ‎J.}‎, 17} (1977)‎, ‎161--169‎.
 
 
 
Flamm‎, ‎C.‎,   ‎Stadler‎,  ‎B‎. ‎M‎. ‎R.‎,   ‎Stadler‎,  ‎P‎. ‎F.‎, ‎Generalized topologies‎: ‎Hypergraphs‎, ‎chemical reactions and biological evolution‎, ‎\em  Advances in Mathematical Chemistry and Applications}‎, ‎vol‎. ‎2‎, ‎2015‎, ‎pp‎. ‎300--328‎.
 
Fomin‎,  ‎S.‎, ‎Extensions of topological spaces‎, ‎\em  Annals of Math.}‎, { 44} (1943)‎, ‎no‎. ‎3‎, ‎471--480‎.
 
 
 
 
 
Gahler‎,  ‎W.‎, ‎Monadic topology‎: ‎a new concept of generalized topology in‎: ‎Recent Developments of General Topology‎, ‎\em  Mathematical Research}‎, 67 (1992)‎, ‎136--149‎, ‎Akademie-Verlag‎, ‎Berlin‎.
 
{Gahler‎,  ‎W.‎, ‎General topology‎: ‎The monadic case‎, ‎examples‎, ‎applications‎, ‎\em  Acta‎.  ‎Math‎. ‎Hungar.}‎, 88 (2000)‎, ‎279--290‎.
 
 
{ Hamlett‎, ‎T‎. ‎R.‎, ‎A correction to the paper ``semi-open sets and semicontinuity in topological spaces‎" ‎by Norman Levine‎, ‎\em Proc‎. ‎Amer‎. ‎Math‎. ‎Soc.}‎, 49  (1975)‎, ‎no‎. ‎2‎, ‎458--460‎.
 
‎H.‎, ‎Topological structures‎, Math‎. ‎Centre Tracts.}‎, {52} (1974)‎, ‎59--122‎.
 
Hewitt‎,  ‎E.‎, ‎A problem of set-theoretic topology‎, ‎\em  Duke Math‎. ‎J.}‎, 10} (1943)‎, ‎309--333‎.
 
 
‎Jafari‎, ‎S.‎,  ‎Noiri‎, ‎T.‎,  ‎Properties of $\beta$-connected spaces‎, ‎\em  Acta Math‎. ‎Hungar.}‎, { 101}  (2003)‎, ‎no‎. ‎3‎, ‎227--236‎.
 
 
 
Katětov‎, ‎M.‎, ‎On continuity structures and spaces of mappings‎,
‎\em Comm‎. ‎Math‎. ‎Univ‎. ‎Carolinae}‎, 6 (1965)‎, ‎257--278‎.
 
 Kempisty‎,  ‎S.‎, ‎Sur les fonctions quasicontinues‎, ‎\em Fund‎. ‎Math.}‎, 19} (1932)‎, ‎184--197‎.