فرهنگ و اندیشه ریاضی

فرهنگ و اندیشه ریاضی

استدلال‌های فیزیکی و اثبات‌های ریاضی

نوع مقاله : مقاله ترویجی

نویسندگان
1 دانشگاه علامه طباطبائی، دانشکده آمار، ریاضی و رایانه
2 دانشگاه زنجان، دانشکده مهندسی، گروه مکانیک
چکیده
در این مقاله، اثبات‌های شهودی برخی قضیه های معروف ریاضی با استفاده از اصول پایهٔ فیزیک داده می‌شود. به نقش اثبات در هر برنامهٔ آموزش ریاضی اشاره خواهد شد. با بیان دلایلی بر لزوم مشاهده و اندازه‌گیری در حل مسائل ریاضی با وجود اثبات‌های ریاضی تأکید می‌شود. در ضمن نقش احتمالی قوانین فیزیک (که به‌طور سنتی منبع مهم برخی از مسائل ریاضی هستند) در اثبات ریاضی و چگونگی این نقش در کلاس درس توضیح داده می‌شود. ‏در این مقاله می‌کوشیم اثبات در کلاس درس ریاضی را با کمک استدلال‌های تجربی ‎(فیزیکی)‎ معنی‌دار کرده و نقش بیان کاربردهای مسائل ریاضی را در تدریس ریاضیات تقویت کنیم. برای نیل به این اهداف، برای نمونه، مثال‌های متعددی شامل قضیهٔ دو‌بعدی و سه‌بعدی سوا، قضیهٔ مربوط به نقطهٔ فرما، قضیهٔ دو‌بعدی و سه‌بعدی فیثاغورس مطرح و با ارائهٔ استدلال‌های ریاضی اثبات می‌شوند. در پایان به‌عنوان یک مبحث پیشرفته‌تر از کاربرد استدلال‌های فیزیکی در ریاضی به شرط سازگاری و تک‌مقداری بودن جواب معادله های انتگرالی تکین از نوع کوشی اشاره می‌شود.
کلیدواژه‌ها
موضوعات

[۱] اوسپنسکی،و.آ.،کاربردهایی از مکانیک در ریاضیات،ترجمۀکورس ضیائی، آشتی با ریاضیات،۶ (۱) (۱۳۶۱)، ۱۳۳-۸۱.
[۲] پارسیان، علی، استدلالهای فیزیکی در ریاضیات، نشریه ریاضی و جامعه، ۶ (۲) (۱۴۰۰)، ۴۹-۷۳.
[۳] وان زانتن، ام.؛ وان دن هوول پانهایزن، ام.، ریاضیات واقعیت‌مدار: تاریخچۀ مختصری از فرآیند بلندمدت جنبش اصلاحات، ترجمۀ ندا توانایی و عبدالحمید چک‌نژاد، فرهنگ و اندیشه ریاضی، ۴۲ (۱۴۰۲)، شماره ۱، ۲۱۳-۲۲۴.
[4]    Apostol, T. M., Mnatsakanian, M. A., Finding centroids the easy way, Math. Horizons, 8 (2000), 7–12.
[5]    Bender, P., Schreiber, A., Operative Genese der Geometrie, Hölder-Pichler-Temsky, Vienna, 1985.
[6]    Blum, W., ed., Anwendungen und Modellbildung im Mathematikunterricht. Beiträge aus dem ISTRON-Wettbewerb, Franzbecker, Hildesheim, 1993.
[7]    Bogomolny, A., Pythagorean theorem from the intersecting chords theorem (2015), available at http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/proof79.shtml.
[8]    Borwein, J., Borwein, P., Girgensohn, R., Parnes, S., Experimental mathematics: a discussion (1996), available at http://www.cecm.sfu.ca/organics/vault/expmath/expmath/ html/expmath.html.
[9]    Castelnuovo, E., Objekt und Aktion im Unterricht in anschaulicher Geometrie, in Zur Didaktik des Mathematikunterrichts, C. Gattegno, ed., Band 2, Schroedel Verlag, Hannover, 1971, 36–53.
[10]    De Villiers, M., An alternative approach to proof in dynamic geometry, Micromath, 11 (1995), 14– 19.
[11]    Dreyfus, T., Hadas, N., Proof as answer to the question why, Zentralblatt für Didaktik der Mathe-matik, 28 (1996), 1–5.
[12]    Dörfler, W., Fischer, R., Vorträge des 2, Internationalen Symposiums für Didaktik der Mathematik vom 26.9 bis 29.9.1978 in Klagenfurt, Vienna, Hölder-Pichler-Tempsky, 1979.
[13]    Erdogan, F., Approximate solution of system of integral equations, SIAM J. Appl. Math., 17 (1969),
6.
[14]    Erdogan, F., Gupta, G. D., Cook, T. S., Numerical solution of integral equations, in Methods of Analysis and Solutions of Crack Problems, Mechanics of Fracture 1, G. C. Sih, ed., Noordhoff, Leyden, 1973, 368–425.
[15]    Faal, R. T., Fariborz, S. J., Daghyani, H. R., Antiplane Deformation of Orthotropic Strips with Multiple Defects, J. Mech. Mater. Struct., 1 (2006), 1097–1114.
[16]    Freudenthal, H., Mathematics as an Educational Task, D. Reidel, Dordrecht, 1973.
[17]    Freudenthal, H., Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, D. Reidel, Dordrecht, 1983.
[18]    Greer, B., Solving the pentagon problem, J. Math. Psych., 15 (1996), 151–154.
[19]    Hanna, G., Jahnke, H., Proof and application, Educ. Stud. Math., 24 (1993), 421–438.
[20]    Hanna, G., Some pedagogical aspects of proof, Interchange, 21 (1996), 6–13.
[21]    Hanna, G., Jahnke, H., DeBruyn, Y., Lomas, D., Teaching mathematical proofs that rely on ideas from physics, Can. J. Sci. Math. Tech. Educ., 1 (2001), 183–192.
[22]    Hanna, G., Jahnke, H., Proof and proving, in International Handbook of Mathematics Education, A. Bishop, et al., eds., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1996, 877–908.
[23]    Hanna, G., Jahnke, H., Arguments from physics in mathematical proofs: An educational perspective, For Learn. Math., 22 (2002), 38–45.
[24]    Jaffe, A., Quinn, F., Theoretical mathematics: toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics, Bull. Amer. Math. Soc., 29 (1993), 1–13.
[25]    Jaffe, A., Proof and the evolution of mathematics, Synthese, 3 (1997), 133–146.
[26]    Jahnke, H., Zum Verhältnis von Wissensentwicklung und Begründung in der Mathematik-Beweisen als didaktisches Problem, Materialien und Studien des IDM, Band 10, Bielefeld, IDM, 1978.
[27]    Kogan, B., The Application of Mechanics to Geometry, The University of Chicago Press, Chicago, 1974.
[28]    Levi, M., The Mathematical Mechanics: Using Physical Reasoning to Solve Problems, Princeton University Press, 2023.
[29]    Mariotti, M., Introducing pupils to proof: a teaching experiment, in Justifying and Proving in School Mathematics, C. Hayles, L. Healy, eds., Institute of Education, London, 1995, 174–189.
[30]    Mason, J., Questions about geometry, in Teaching and Learning School Mathematics, D. Pimm, E. Love, eds., Hodder and Stoughton, London, 1991, 77–90.
[31]    Monna, A., Dirichlet’s Principle: A Mathematical Comedy of Errors and its Influence on the Development of Analysis, Oosthoek, Scheltema and Holkema, Utrecht, 1975.
[32]    Niss, M., Blum, W., Huntley, I., Teaching of Mathematical Modelling and Applications, Ellis Horwood, New York, NY, 1991.
[33]    OECD, Proceedings of the Second Conference of the OECD Project: Future Perspectives of Mathematics, Science and Technology Education in OECD Countries, Organisation for Economic Cooperation and Development, Paris, 1991.
[34]    Oliver, J., Pythagoras theorem: An alternative to note 79.57, Math. Gaz., 81 (1997), 117–118.
[35]    Polya, G., Mathematics and Plausible Reasoning, vol. I: Induction and Analogy in Mathematics, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1954.
[36]    Rota, G.-C., The phenomenology of mathematical proof, Synthese, 3 (1997), 183–197.
[37]    Struve, H., Grundlagen einer Geometriedidaktik, Bibliographisches Institut, Marmheim, 1990.
[38]    Streefland, L., Fractions in Realistic Mathematics Education: A Paradigm of Developmental Research (R. Rainero et al., trans.), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.
[39]    Thurston, W., On proof and progress in mathematics, Bull. Amer. Math. Soc., 30 (1994), 161–177.
[40]    Tokieda, T., Mechanical ideas in geometry, Amer. Math. Monthly, 105 (1998), 697–703.
[41]    Treeby, D., A physical proof of the Pythagorean theorem, Phys. Teach., 55 (2017), 92.
[42]    Uspenskii, V., Some Applications of Mechanics to Mathematics, Balisdell Publishing Company, New York, NY, 1961.
[43]    Winter, H., Geometrie vom Hebelgesetz aus-ein Beitrag zur Integration von Physik-und Mathe-matikunterricht der Sekundarstufe I, Der Mathematikunterricht, 24 (1978), 88–125.
[44]    Winter, H., Zur Problematik des Beweisbedürfnisses, J. Math.-Didaktik, 1 (1983), 59–95.
[45]    Wittmann, E., Müller, G., Wann ist ein Beweis ein Beweis?, in Mathematik-Didaktik, Theorie und Praxis; Festschrift für Heinrich Winter, P. Bender, ed., Berlin, Cornelsen, 1988, 237–257.

  • تاریخ دریافت 24 فروردین 1404
  • تاریخ بازنگری 04 شهریور 1404
  • تاریخ پذیرش 04 شهریور 1404
  • تاریخ انتشار 01 خرداد 1405